Общая теория относительности - Хокинга В.
Скачать (прямая ссылка):
тензором энергии-импульса, ассоциированным С FPполей (g. ф)-
Полевые уравнения тогда примут вид
Ein (g) = 8пТ (g, ф) (т. е. Glxv = 8nTlxv) и б=27полей/бф=0.
Если мы хотим иметь достаточно хорошую теорию полей, необходимо наложить
жесткие ограничения на возможный выбор J^noje»- Например, если наша
теория тензорная и полей зависит от производных g, скажем от ковариантных
производных Уф полей Ф, то Т, вообще говоря, зависит от вторых
производных g и вторых производных ф. Подобным же образом уравнения для
полей будут зависеть как от вторых производных метрики, так и от вторых
производных полей. В такой ситуации может и не быть хорошо определенной
системы гиперболических уравнений [121—123]. Поэтому обычно
предполагается минимальное взаимодействие (полей с гравитацией), т. е.
3„Олей зависит лишь от значений g в точке. Для скалярного поля,
электромагнитного поля и поля Янга — Миллса (для последнего
^П0Я^={х1ип)р-F‘dp.(g) и F=dA+lA, Al есть кривизна поля связности Л)
трудностей не возникает ввиду минимальности взаимодействий этих систем.
Для минимальных тензорных теорий поля можно классифицировать содержащиеся
в них естественные дифференциальные операторы согласно [151, 156, 172].
Перейдем теперь к динамической формулировке Дирака — АДМ. Для изложения
этого предмета воспользуемся современной симплектической геометрией и
неявным вариантом дираковской теории связей; см. [1]. Поскольку
гравитация играет у нас выделенную роль, вначале рассмотрим ее. Затем мы
сделаем несколько
//. Проблема начальных данных
93
замечаний относительно случая полей, взаимодействующих с гравитацией.
Как и раньше, пусть V,— четырехмерное многообразие с ло-ренцевой метрикой
{i)g, ориентируемое и ориентируемое по времени. Мы пишем (4>g, чтобы не
смешивать ее с римановой метрикой g, которая вводится ниже. Пусть М —
компактное ориентируемое трехмерное многообразие *) и пусть i : М->-К4
есть вложение М, такое, что вложенное многообразие i (М)=2
пространственноподобно, т. е. сужение i* ((4,g)=g есть риманова метрика
на М. Пусть СпростР(М; V, {i)g) означает множество всех таких
пространственноподобных вложений. Как и в работе [76], оно является
гладким многообразием. Пусть k означает вторую фундаментальную форму
вложения, определенную в точке т?М для X, Y€ ТтМ обычной формулой
ka(X, Y) = -'»goi(m) ((TJ-Y), l4)V(rm(.x) l4)Zx о i (т)),
где — направленная в будущее времен иподобная нормаль к 2 в точке
t(m). Таким образом, (где точка с запя-
той означает ковариантное дифференцирование относительно метрики (4,g;
ковариантное дифференцирование относительно g обозначается вертикальной
чертой).
Пусть я=я'®ф.(?)— дважды контрвариантная тензорная плотность, тензорная
часть л которой определяется как я' = =[(tr?)g—k\*, где # означает
контрвариантную форму ковариант-ного тензора с индексами, поднятыми с
помощью g\ аналогично 'о означает ковариантную форму контравариантного
тензора. В гамильтоновой формулировке Арновитта—Дезера — Мизнера (АДМ) k
играет роль переменной скорости, ал — ее канонического импульса. Отметим,
что у нас я=яАдмй3х. При обсуждении пространства гравитационных степеней
свободы в разд. 6 полезно будет знать, что если (К4,(4)?) глобально
гиперболично и есть поверхность Коши, диффеоморфная М, то любое
пространственноподобное вложение М в К4 также является поверхностью Коши
[24, 104].
Предположим теперь, что дана кривая в СпРОстр(М; К4, U)g), т. е. кривая t
пространственноподобных вложений М в (К4, U)g). Производная по параметру
К (^-производная) этой кривой задает однопараметрическое семейство
векторных полей 14,Ахх на вложенных гиперповерхностях следующим
уравнением:
'XXioikiM-TVt
(рис. 1). Нормальные и касательные проекции (t,Xs:K задают кривую функций
N\=^{i)X± : Af->-R и векторных полей и,Хц =
*) Гамильтонов формализм для некомпактного случая имеет заметные отличия
(см. [54, 161]), но теория существования и единственности, обсуждаемая а
Разд. 3, 4, справедлива и для этого случая.
04
А. Фишер, Дж. Марсден
=Хя. : М-*-ТМ на М уравнением
w>*zx о I, (/л) = ««Xj. (X, m) “>Z2ji о /х (m) + TJK• ‘«X,, (X, m),
где (1>2sx—направленная в будущее единичная времениподоб-ная нормаль к
2*. Пусть N\>0; тогда отображение F:IxM —? V4; (X, /п) —(m)
есть диффеоморфизм многообразия /ХМ на трубчатую окрестность многообразия
10(Л4)=20, если интервал /=(—р, р) выбран достаточно малым. В этом случае
мы назовем и кривую t\, и вложенные гиперповерхности 2д,=1\(Л1)
разбиением многообразия Vt.
По терминологии Арновитта — Дезера — Мизнера [7] и Уилера [174] функции
Nx. и векторные поля Ха. суть функции длительности и векторные поля
сдвига.
'4|Xzx на нормальную и касательную составляющие.
Используя F : IXM-+Vt как координатную систему для трубчатой окрестности
на гиперповерхности 20 в Vt, координаты (х‘), i—1,2,3 на М и (ха)=(Х,
дс'), а=0, 1,2,3 как координаты на 1хМ, получим суженную метрику F*li)g в
виде
(f * u,g) «э dxa = — (N2 — X,X') dX* + 2X, dx‘ dk + gu dx‘ dx>,
