Общая теория относительности - Хокинга В.
Скачать (прямая ссылка):
динамическую систему Эйнштейна в следующей явной и компактной форме:
Уравнение связи Ф (g,n)=0.
Такой вид уравнений полезен для изучения устойчивости линеаризации и
пространства гравитационных степеней свободы. Мы наметим схему,
позволяющую распространить формализм сопря-
А. Фишер, Дж. Марсден *)
Уравнение эволюции
*)Л. Е. Fischer, J. Е. Marsden., Division of Natural Sciences, University
of California, Santa Cruz, USA.
88
А. Фишер, Дж. Марсден
женных величин на все теории, в которых связь с гравитацией минимальна.
Формализм сопряженных величин естественным образом ведет к изучению
многообразия связи (разд. 2); основным результатом этого раздела является
ответ на вопрос, какие точки принадлежат многообразию (регулярны), а
какие являются точками бифуркации (сингулярны). Мы покажем также
(используя формализм сопряженных величин), что подмногообразие связи
находится в инволюции относительно динамических уравнений.
Уравнения,используемые для получения этого результата, эквивалентны
каноническим коммутационным соотношениям Дирака.
На основе этого динамического формализма в разд. 3 и 4 обсуждаются
существование, единственность и устойчивость решения задачи Коши. В разд.
3 резюмируется общая теория гиперболической задачи с начальными данными,
которая потребуется нам для теории относительности. Мы излагаем
абстрактный подход, из которого как частные случаи следуют результаты,
касающиеся существования и единственности для симметричных
гиперболических систем первого порядка, для гиперболических систем
второго порядка и для комбинации этих систем. Приводимые нами теоремы
являются наиболее сильными из известных результатов в отношении
дифференцируемости. Соответственно их применение в разд. 5 приводит к
наиболее сильным результатам в отношении существования и единственности
для задач Коши для уравнений поля в пустом пространстве (теоремы 23 и
27). Попутно будут сделаны замечания о том, как применить эту абстрактную
теорию к полям, взаимодействующим с гравитацией.
Несмотря на значительный прогресс в изучении проблемы начальных данных,
остается нерешенной главная проблема связи динамических сингулярностей
(несуществование решений уравнений эволюции «для всех времен») с
сингулярностями в смысле Хокинга — Пенроуза.
В разд. 5, комбинируя результаты разд. 2 и 4, мы получаем условия, при
которых первый порядок теории возмущений имеет силу, и показываем, что
при наличии вектора Киллинга ряд теории возмущений должен быть перестроен
для согласования с существованием этого вектора. Здесь же приведены
необходимые условия второго порядка для того, чтобы возмущение было
интегрируемо. Этими результатами мы обязаны совместной работе с В.
Монкри.
Наконец, в разд. 6 обсуждается исключение калибровочных условий с помощью
общей процедуры редукции для гамильтоновых систем. Применяя этот общий
метод, мы показываем далее, что пространство гравитационных степеней
свободы является, вообще говоря, бесконечномерным симплектическим
многообразием. Таким образом, множество геометрий пустого пространства
есть в общем случае бесконечномерное гравитационное фазовое пространство
без сингулярностей. Наш общий формализм может быть при-
//? Проблема начальных данных
менен также и к полям, взаимодействующим с гравитацией минимально; без
особого труда можно показать, что пространство степеней свободы для этих
полей и гравитации в общем случае также является симплектическим
многообразием.
Дальнейшие сведения по этим вопросам читатель может найти в работах [2—4,
54, 92—95, 108, 114, 142, 145—149, 173].
Авторы благодарны Дж. Армсу, И. Шоке-Брюа, К. Кухаржу,
В. Монкри, Р. Палэ, Р. Саксу и А. Таубу за полезные советы, а также С.
Хокингу и В. Израэлю за любезное предложение участвовать в этом сборнике.
1. КАНОНИЧЕСКИЙ ФОРМАЛИЗМ
Напомним сначала четырехмерный лагранжев формализм в классической теории
полей, взаимодействующих с гравитацией. Вслед за этим будет изложен
динамический, или «З+Ь-подход.
Используются следующие обозначения: Vx— гладкое четырехмерное
многообразие; под термином «многообразие» подразумевается связное,
ориентируемое, паракомпактное, хаусдорфово многообразие; TVX— его
касательное расслоение. Положим также, что L (Vx) = множество всех
гладких лоренцевых метрик с сигнатурой (—+++);
S2 (V'4)= множество всех гладких симметричных тензорных полей 2-го ранга
на Vx.
Пусть теперь Е есть векторное расслоение над Vt с проекцией я : ?—<-У4, а
его С°°-сечения обозначаются С“(Е). Мы часто будем иметь дело с E=Trs
(У4), расслоением тензоров с г контравариант-ными и s ковариантными
индексами. Однако важно понимать, что это не означает принципиального
ограничения лишь теорией тензорных полей: тогда из рассмотрения
исключались бы такие важные полевые теории, как теория Янга — Миллса;
см., например, [3, 105]. Строго говоря, поля Янга — Миллса требуют
использования аффинного расслоения (расслоения связностей на главном
расслоении над К4), но для этого не нужно сколь-нибудь существенно
