Общая теория относительности - Хокинга В.
Скачать (прямая ссылка):
переделывать рассматриваемый нами формализм.
Если введены какие-либо координаты, мы будем записывать компоненты ср ?
С” (Е) как сри, где А — собирательный индекс для всего набора индексов.
Обозначим через S>(VX) (сохраняющие ориентацию) диффеоморфизмы
многообразия Vx. Для «естественных расслоений» любое F^S>(VX) расширяется
функторно до диффеоморфизма расслоения Fе: Е -*? Е, накрывающего F, т. е.
диаграмма
90
А. Фишер, Дж. Марсден
коммутативна, и (FoG)E—FEoGE. При этом FB есть обычное преобразование
тензоров, если E—Trs (У4). Тогда увлечение назад F определено на сечениях
Е и действует следующим образом:
?•: С” (Е) — С” (?); Ф —?я1офо? = ?‘ф,
а его обращение, увлечение вперед, определяется равенством ?*ф=
^=FEo(poF~x. Для расслоений, связанных с полями Янга—Миллса, вдополнениек
понятиям увлечения впереди назад, которые порождаются <2>(У4), имеется
еще бесконечномерная калибровочная группа.
Заметим, что Е может быть суммой Уитни ?j0?20. . ,Eh для k типов полей,
так что наш формализм пригоден и для взаимодействующих полей.
Пусть й — расслоение плотностей (т. е. 4-форм) над V4; ?*— дуальное
расслоение над У4, слоем которого в точке х является ?ж®йж, где Е'х —
векторное пространство, дуальное к Ех. Таким образом, ?* есть расслоение
векторных плотностей над V,. Например, если Е=Т[(У4), то Е*=Т[04)®Й будет
расслоением тензорных плотностей типа (*).
Мы имеем естественное ?2-спаривание между С“(?) и С“ (?*), задаваемое как
(Ф, ф0^р)ь, = 5ф(ф)Ф,
к.
где ф(ф)<2|д.=ф(ф)0<2[х и подразумевается интегрируемость ф(ф) по dfi. Мы
будем говорить о С"(?*) как о сечении, естественным образом L ^-дуальном
к С°°(?).
Пусть ? и ? — два расслоения над V4 и А: С°° (?)-»-С” (?) есть линейный
оператор. Оператор, естественным образом сопряженный к А, определяется
как А* : С“(?*)-»-С“(?*), (Л*(ф). <t'k, = =(ф, Лф)ь, для (?*), ф€ С"(?).
Здесь, конечно, молчаливо
предполагается, что А* существует.
Если А—дифференциальный оператор, то А* вычисляется, как обычно,
интегрированием по частям, что дает сопряженный дифференциальный
оператор. Вообще говоря, А* можно понимать в смысле неограниченного
оператора [109].
Для расслоения ? над V4 с дуальным расслоением ?* будем считать, что ? в
свою очередь является дуальным к ?*, так что (?*)*=?. Таким образом, если
E=Trs(Vi), то ?*=7^(У4)®Й и {E*)*=Trs(Vt). При этом условии, если А :
С“(?)-»-С“(?*), то А* : С“(?)->-С“(?*).
Рассмотрим теперь лагранжеву плотность в теории полей, взаимодействующих
с гравитацией.
J?:L(V4)xC°° (?) —? C°t (V4),
где С?(У4)=Й есть расслоение скалярных плотностей над У4. Запишем 3?(g,
ф)=^1рав(?)+:?„олей(?. ф). причем as(g) = —С/и11) E(g)dn(g), где R(g) —
скалярная кривизна метрики g
//. Проблема начальных данных
91
и dp (?)=(—det gab)'u dtfAdx'Adx'Adx* — элемент объема, определяемый g€ L
(К4); позднее мы будем обозначать такое g как
(4 )gw
Если потребовать, чтобы интеграл действия
^ (?> ф) “ J [*^грав (ё) полей (ё> ф)]^Р (ё)
$
был стационарным для любой ограниченной открытой области &>czV4 с гладкой
границей дЗ> и для любой вариации Л метрики g и вариации ф полей ср,
обращающихся в нуль на этой границе, то получим
0 = J [D«S%aB (g) h + DgJ?полей (g, ср) ? h + Dv J?n0JIi, (g • ф) ? ф] dp
(g)
S)
для всех Лиф, исчезающих на д@>, где через D обозначена производная
Фреше, a D?, D<p— частные производные соответственно по g и ф. Отметим,
что вариации Лиф берутся соответственно из 5а(У4), пространства
симметричных дважды ковариантных тензорных полей на V4 и из С" (Е).
В терминах естественным образом сопряженных операторов это условие
превращается в уравнения Эйлера — Лагранжа:
[о^гр.в (г)]* • 1+[о^полей (g, ф)]« i=o
Рф^полей^, Ф)]*'1 =0,
где 1 есть постоянная функция 1 в пространстве функций с действительными
значениями, которое является дуальным к пространству плотностей Ca(V4).
Эти уравнения эквивалентны обычному способу записи уравнений Эйлера —
Лагранжа (если предположить, что J?noiet зависит от Л-струи g, ф):
е<УгР«в б^полей г,
6 g е g
6«3f полей л
бф —
Тогда, согласно [1321, имеем
DR (g)-h — Atrh + bbh — h-Ric(g),
где Д = оператор Лапласа— Бельтрами на скалярах; Д tr = след; tr Л=Лаа,
6Л = —div Л=—Лар;р, бел = двойная дивергенция = ЛаР;<х;р,
^*с(&) = тензор Риччи для g=Rai и mVi(g)bh^/t)(tTh)dVi{g).
92
А. Фишер, Дж. Марсден
Таким образом,
D-^грав (ё) • h = [A tr Л + 66ft - Ein (g) • ft] d\i (g),
ГДЭ Ein(g)=Ric(g)—V*gR(g)— тензор Эйнштейна для g (т. e. Ga0=#ap—V^pR).
Поскольку интеграл от Atrft+88ft обращается в нуль для вариаций ft,
исчезающих на d?D, отсюда следует, что
[D-^грав (g)]*'1 = — Ш [Ein(g)]#dp (g),
где # означает, что индексы подняты с помощью g.
Положим (см. [104], §3.3)
*•(*, ф) = 2^лей=2[0^полей(^, V)]*-l€Si(V4),
где SJ (V4)=S2 (V4)<2)Q означает пространство дважды контрава-риантных
симметричных тензорных плотностей в У4.
Пусть T(g, (р)—^ (g, ф)* — дуальный тензор в 5а(У4), индуцированный
метрикой g. Таким образом, <^Г=T*dfi(g) и Т является обычным симметричным
