Общая теория относительности - Хокинга В.
Скачать (прямая ссылка):
Слегка закругляя этот угол, мы можем вычислить этот вклад; он оказывается
равным 1/аМ(та—ti). Таким образом, полное действие равно <?>(т*—та) и
<та|т1>=ехр(—<?>(т2—Tj)), как и следовало ожидать для единственного
состояния с энергией ?=<?>. Но если рассматривать статистическую сумму,
то границей будет просто г—г0 и, следовательно, действие будет равно
VapЕ, а не рЕ. Эта разность, равная 4tA, дает энтропию черной дыры.
VII. Интегралы по траекториям
397
Таким образом, мы видим: тот факт, что гравитационное поле может иметь
различные топологии, приводит к качественно новым явлениям. Эти явления
нельзя было бы обнаружить, используя канонический подход, поскольку такие
метрики, как решение Шварцшильда, в этом подходе не допускаются.
Приведенный вывод статистической суммы и энтропии черной дыры основан на
использовании канонического ансамбля, в котором система находится в
равновесии с бесконечным резервуаром энергии при температуре Т. Однако
канонический ансамбль неустойчив в присутствии черной дыры, поскольку
если черная дыра поглотит хоть немного дополнительной энергии, она
несколько остынет и будет и далее поглощать энергии больше, чем испускать
ее. Эта патология отражается в том факте, что <Д?2>=<??>—<?>2= = (1 IZ)
(d2Z/dp2) = (d In Z/dP)2=—1/8л, т. е. отрицательна. Для получения
разумных результатов в отношении черных дыр мы должны пользоваться
микроканоническим ансамблем, в котором в изолированную полость
заключается определенное количество энергии Е и рассматриваются все
возможные конфигурации, которые обладают заданной энергией. Пусть N (E)dE
— число состояний гравитационного поля с энергиями между Е и E+dE в
сферической полости г0. Статистическую сумму дает преобразование Лапласа
над N (Е):
СО
Z (р) = J N (?) exp (— р?) dE. (106)
0
Отсюда плотность состояний формально получается обратным преобразованием
Лапласа:
too
N<E)= ш j Z(p)exP(?p)dp. (107)
— i ОС
Для больших р главный вклад в Z(P) дает действие метрики Шварцшильда,
и этот вклад имеет вид ехр(—Р2/16л). Следовательно, правая
часть (107) будет расходиться, если интеграл взят помнимой
оси р, как это предполагается. Чтобы получить конечное значение для
(107), приходится придерживаться иного способа: брать интеграл вдоль
действительной оси р. Это очень похоже на процедуру, использованную при
вычислении функционального интеграла в приближении стационарной фазы, где
мы поворачивали контур интегрирования для каждого квадратичного члена
так, чтобы получался сходящийся гауссов интеграл. При следовании этому
рецепту множитель l/2nt в (107) дает мнимое значение для плотности
состояний N(E), если статистическая сумма Z(p) действительна. Однако, как
уже упоминалось в разд. 6, оператор G, которому подчиняются неконформные
или бесследовые возмущения в метрике Шварцшильда, обладает одним
отрицательным собственным значением. Это вносит в однопетлевой член для Z
множитель i. Таким образом, статистическая сумма оказывается чисто
мнимой, а плотность сос-
398
С. Хокинг
тояний — действительной. Это как раз то, чего и следовало ожидать. Из-за
того что канонический ансамбль не определен корректно, получаем
патологическую статистическую сумму, но вследствие правильного поведения
микроканонического ансамбля плотность состояний действительна и
положительна.
Выходить за пределы приближения стационарной фазы при вычислении
интеграла в (107) не имеет смысла, поскольку статистическая сумма Z
вычислена только в этом приближении. Если мы возьмем в качестве вклада
фоновой метрики ехр(—|32/16л), то получим, что черная дыра массы Af имеет
плотность состояний N (М) — =2л-,/* ехр (4лЛ42). Следовательно, интеграл
в (106) не сходится, если не повернуть контур интегрирования так, чтобы
он лежал вдоль мнимой оси Е. Если включить однопетлевой член Z„, то точка
стационарности фазы при интегрировании по р в (107) для плоской фоновой
метрики находится при
(Ю8)
dp
и для фоновой метрики Шварцшильда при
E-l~dJlr- <109>
Этим уравнениям можно дать такую интерпретацию: Е равно энергии тепловых
гравитонов и черной дыры, если она есть. Используя приближенный вид Zg,
находим, что при объеме полости V, удовлетворяющем неравенству
Еь < ^(8354,5) V, (110)
преобладающий вклад в N дает фоновая метрика плоского
пространства. Таким образом, в этом случае наиболее
вероятное состояние
системы — тепловые гравитоны без каких-либо черных дыр. Если V меньше,
чем нужно для выполнения условия (110), то появляются две точки
стационарности фазы для фоновой метрики Шварцшильда. Одна из них с
меньшим значением р дает вклад, больший чем фоновая плоская метрика.
Следовательно, наиболее вероятным состоянием системы будет черная дыра в
равновесии с тепловыми гравитонами. Эти результаты подтверждают прежние
выводы, основанные на полуклассических приближениях [20, 281.
9. ЗА ПРЕДЕЛАМИ ОДНОПЕТЛЕВОГО ПРИБЛИЖЕНИЯ
В разд. 5 действие было разложено в ряд Тейлора в окрестности фонового
поля, которое было решением классических полевых уравнений. Интеграл по
