Общая теория относительности - Хокинга В.
Скачать (прямая ссылка):
масштабах. Таким образом, в квантовой гравитации может быть обрезание на
малых расстояниях. Этот вопрос будет обсуждаться в разд. 10.
7. ФОНОВЫЕ ПОЛЯ
В этом разделе я опишу некоторые положительно-определенные метрики,
являющиеся решениями уравнений Эйнштейна, вакуумных или с Л-членом. В
некоторых случаях они представляют собой аналитические продолжения
известных лоренцевых решений, хотя их глобальная структура может быть
иной. В частности, сечение комплексифицированного многообразия, на
котором метрика положительно-определена, может не содержать
сингулярностей, имеющихся в лоренцевом сечении. В других случаях эти
положительно-определенные метрики могут быть введены только на
многообразиях, не имеющих какого-либо сечения, на котором метрика
13*
388
С. Хокинг
была бы лоренцевой и действительной. Тем не менее и эти метрики
представляют интерес как точки стационарности фазы в определенных
интегралах по траектории.
Простейший нетривиальный пример вакуумной метрики — решение Шварцшильда
[18, 26]. Обычно оно записывается в виде
dsa = — (1 — ™ ) dt3 + (1 — ^ ) ~'dr* + г2 d№. (81)
Замена t=—it превращает это выражение в положительно-определенную метрику
при г>2М. При г=2М имеется явная сингулярность, но она такая же
кажущаяся, как сингулярность в начале полярных координат. В этом можно
убедиться, введя новую радиальную координату х=4М (1—2Мг~1)1/г; тогда
метрика принимает вид
ds* = (iSi)*rfT,+ (ljfiydx* + r*dQ\
Она регулярна при х=0, г=2М, если т рассматривается как угловая
переменная и по ней производится отождествление с периодом 8лЛ1 (я
пользуюсь единицами, в которых гравитационная постоянная G=l).
Многообразие, задаваемое условиями хрЛ, 0^т^8лМ, называется евклидовым
сектором решения Шварцшильда. В нем метрика положительно-определена,
асимптотически-плоская и несингулярна (сингулярность кривизны при г=0 не
лежит в евклидовом секторе).
Ввиду периодичности шварцшильдова решения по мнимому времени с периодом
(5=8лЛ1 граничная поверхность дМ радиуса г0 будет обладать топологией
S1xSa, и эта метрика будет точкой стационарности фазы в функциональном
интеграле для статистической суммы канонического ансамбля с температурой
7’=р_1 = =(8лМ)-1. Как уже было показано в разд. 2, действие при этом
определяется полностью одним только поверхностным членом и равно
/ = 1р.И = 4лЛ1а. (82)
Аналогичный евклидов сектор может быть найден для решения Райсснера —
Нордстрема с Qa+/52<Afs, где Q — электрический заряд, а Р — магнитный
монопольный заряд. В этом случае радиальная координата пробегает значение
оо. Снова внеш-
ний горизонт г=г+ будет осью симметрии в плоскости г—т, а по координате
мнимого времени т производится отождествление с периодом р=2лх~1, где х —
«гравитационный потенциал» на поверхности внешнего горизонта.
Электромагнитное поле Fab в евклидовом секторе будет действительным при
мнимом Q и действительном Р. В частности, если Q=iP, это поле будет
самодуальным или антисамодуальным:
Fab = ±*Fab = ^abcdFcd, (83)
VII. Интегралы no траекториям
389
где гаШ — альтернирующий тензор. Если Fab действительно в евклидовом
секторе, то операторы, определяющие поведение заряженных полей, будут
эллиптическими; поэтому оказывается возможным вычислить однопетлевые
члены методом дзета-функции. Затем полученный результат можно
аналитически продолжить обратно к действительным Q точно так же, как
положительно-определенная метрика аналитически продолжается к лоренцевой.
Поскольку /?=О, гравитационная часть действия не меняется. Однако имеется
еще вклад от электромагнитного лагранжиана —(\/8n)FabFai. Таким образом,
(84)
где Ф=ф/г+ — электростатический потенциал горизонта, а =Р/г+ —
магнитостатический потенциал.
Подобным же образом можно найти евклидов сектор для метрики Керра при
условии, что масса М действительна, а момент количества движения J
мнимый. В этом случае метрика будет периодичной в системе отсчета,
которая вращается вместе с горизонтом, т. е. точка (т, г, Э, <(>)
отождествляется с точкой (т+р, г, 0, Ф+t'PQ), где Q — угловая скорость
горизонта (Q мнимая при мнимом J). Как и в случае электромагнитного поля,
наилучшим методом представляется вычисление однопетлевых членов с мнимым
J и последующее аналитическое продолжение к действительному J. Наличие
момента количества движения не влияет на асимптотическую метрику в
главном порядке, в котором действие равно
/«урМ, р^лх"1,
где х — гравитационный потенциал поверхности.
Метрики Тауба — НУТ (32, 37] составляют другой интересный класс вакуумных
решений. Их можно рассматривать как гравитационные «дионы» с обычной
массой М «электрического» типа и гравитационной массой N «магнитного»
типа. Соответствующая метрика может быть представлена в виде
ds* = —v(dt+4N sin* jdrt>y + V~ldr* + (r* + N*) (dQ* + sin» 0 d<l>*),
(85)
где V»*l—(2A4r+ N*)/(r*+N*). Эта метрика регулярна на полуоси 0=0, но
имеет сингулярность при 0=я, поскольку член sin* (0/2) в метрике
означает, что малый контур вокруг этой оси не стягивается в точку при
