Общая теория относительности - Хокинга В.
Скачать (прямая ссылка):
<out|in> = N' J eiSI<pl det F [ф]6 [ Р[ф] — ?]с(ф, (125)
где под интегралом /Чф^] заменено на Е[ф] из-за присутствия дельта-
функционала и где
def р
N' = N J detQ-‘[i]d|. (126)
в
Таким образом, калибровочная группа отфакторизована и ее «объем» учтен в
новой нормировочной постоянной N'. Интегрирование в (125) ограничивается
подпространством Р“[ф]=?а.
Если Рх не выбраны так, чтобы удовлетворять уравнению (110) (например,
если мы следуем линейному калибровочному уравнению), может понадобиться
видоизменить выражение (125). Например, если подпространство Ра[ф]=?а
пересекает определенные орбиты более одного раза, то в подынтегральное
выражение необходимо ввести множитель 1 /л[?, ф], где «[?, ф1 — число
пересечений орбиты, содержащей ф'\ Намного более сложная проблема
возникает в случае, когда некоторые из орбит вообще не пересечены. Если ф
оказывается на одной из таких орбит, то А [?, ф] обращается в нуль и
выражение (124) теряет смысл. На границе между теми орбитами, которые
пересекаются, и теми, которые не пересекаются, А[?, ф] обычно имеет
поведение типа точки ветвления, и матрица Е[фЕ] в этой области
неограниченно растет. Возможно, что какая-то процедура аналитического
продолжения дает возможность обойти эту точку ветвления, особенно если
дельта-функционал в (125) представить в виде интеграла Фурье. Но это лишь
программа для будущих исследований.
Метод ограничения полей ф' конкретным подпространством можно применить
также для доопределения операторов. Рассмотрим выражение (100). Оно
строго справедливо лишь при условии, что
функционал Л[ф] калибровочно-инвариантен. Если это не так, ин-
00
теграл не определен, подобно интегралу J xdx. Иначе говоря, мат-
— 00
ричные элементы можно определить только для калибровочноинвариантных
операторов. Однако из заданного калибровочнонеинвариантного оператора А
[ф] можно построить калибровочноинвариантный оператор, определяя его
следующим образом:
del г
Г(Л[ф:]) = 7((Д[?, Ф]ГМ 4[4]6[^[4-C]detQ-irS]dS). {Ш)
G
VI. Квантовая гравитация: новый синтез
349
Здесь использован символ хронологического упорядочения, так что можно
пренебречь некоммутативностью оператора А [6<р] как с (A[?, q>])-\ так и
с дельта-функционалом. Отметим, что из-за линейности действия
калибровочной группы на поля <р, не возникает никакой неопределенности с
символом '«р. Вместе с тем следует иметь в виду, что в теории гравитации
диффеоморфизмы могут переставлять поле весьма сложным образом.
Соответственно хронологическое упорядочение, которое расставляет полевые
операторы по значению одной только координаты х°, постоянно сложным
образом перестраивает «физические» поля по мере того, как ? в интеграле
(127) пробегает по группе.
Подставляя (127) в матричный элемент (100) и следуя тем же рассуждениям,
что и при переходе от (124) к (125), находим, что равенство
<out IТ(А [фс]) I in> = N' [ А [Ф]««ИР1 det F [q>] в [Р [Ф] - Q dcp (128)
справедливо для любого функционала Л[ср].
5.5. ГАУССОВЫ СРЕДНИЕ
Теорию возмущений можно развить на основе (125) и (128), но обычно более
удобно работать с формализмом, из которого дельтафункционалы уже
исключены. Отметим, что, хотя в выражение (125) входят параметры ?“, в
действительности амплитуда (out 11п> не зависит от них. Поэтому ничто не
изменится, если проинтегрировать по этим параметрам с некоторым весовым
множителем. Гауссов весовой множитель оказывается для этого самым
удобным.
Пусть уаВ — произвольная несингулярная непрерывная матрица; обычно уаР
выбирается локальной (т. е. пропорциональной дельта-функционалу) и
ковариантно зависящей от фонового поля g1 (g‘ может быть, например,
базисной точкой порожденного геодезическими подпространства V, которая
служит нулевой точкой для функционалов Ра, когда те выбираются
каноническими). Не выписывая явно индексы, можно формально написать
г def
\ e‘/«(?vc dt, = C(det у)_,/*, d?=IIeCa. (129)
a
где С — (расходящаяся) постоянная. Если в подынтегральное выражение (125)
подставлен гауссов весовой множитель и проведено интегрирование по ?, то
в силу (129) имеем
<out | in> = N" (dety)l/* J e (sl<iP,+ 2 ''fa’lvPHpj) det f [<p] dcp,
(130)
dei
N" = N'/C. (131)
Этот результат был впервые получен автором через линейные Р [231.
Отметим, что при использовании канонических Р каждая
350
B.C. Де Витт
орбита при интегрировании может быть пройдена много (бесконечное число)
раз.
Выражения (127) и (128) также можно заменить их гауссовыми средними.
Вводя
def л
7 (Л [ф]) = С-1 (dety)1/. )Т(А [фс]) e'/JMdZ, (132) можно написать
<out I Т (А [ф]) I in> = AT(det Y)V. $ А [ф]« (S[,pl+T p [<pl v/> [<p]) x
xdetF[9]dv. (133)
Уравнение (133) и его обобщения часто используются в следующем разделе.
Определения (127), (132) дают точное представление о том, какого рода
усредненный квантовый оператор ассоциируется в этом формализме с каждым
классическим функционалом Л[ср]. Заметим, что
Г(Р“У = ?“, <out | Т (Ра [ф]) | in> = 0. (134)
