Общая теория относительности - Хокинга В.
Скачать (прямая ссылка):
есть Riem (М) — пространство всех римановых метрик на пространственно-
временном многообразии М, а С есть Diff (М) — группа диффеоморфизмов М.
Физическое пространство полей есть фактор-пространство Ф, называемое
также пространством орбит. В теории гравитации пространство орбит Riem
(A4)/Diff(A4) есть пространство геометрий на М.
Рассмотрим типичную (т. е. общего вида) орбиту. По модулю возможного
дискретного центра она является копией группового многообразия М,
поскольку дает реализацию G и обладает той же размерностью. Не
обязательно, чтобы все орбиты имели именно эту размерность. Часто
существует класс вырожденных орбит, имеющих меньшую размерность. Такие
орбиты являются граничными точками пространства Ф/G и порождаются теми
точками в Ф, которые остаются инвариантными под действием нетривиальных
(непрерывных) подгрупп группы G. Чем больше размерность такой подгруппы
инвариантности, тем меньше размерность орбиты. Фишер 140] показал, что
орбиты данной размерности могут быть собраны в граничные подмногообразия,
так что все пространство орбит становится слоистым (stratified)
многообразием. В теории гравитации вырожденными орбитами являются
симметричные геометрии, т. е. те, которые обладают векторами Киллинга *).
Для наглядности можно представлять себе Ф как R3, a G — как группу
вращений вокруг фиксированной оси. Орбитами тогда будут окружности,
перепендикулярные оси и с центром на ней, а пространством орбит будет
полуплоскость, граничные точки которой соответствуют точкам на оси,
остающимся инвариантными под действием рассматриваемой группы вращений.
Глобально выполняющиеся калибровочные условия представляют собой набор
связей, выделяющий в Ф подпространство коразмерности, равной размерности
G, которое пересекает каждую орбиту точно в одной точке. В случае поля
Янга — Миллса такого подпространства не существует, если калибровочная
группа соответствует скрученному (twisted) расслоенному пространству.
Относительно группы диффеоморфизмов известно значительно меньше. Хотя ее
*) Калибровочная инвариантность действия 5 [<р] может быть выражена в
виде S, ,-Qa=0; в чисто гравитационной теории это — свернутое тождество
Бианки.
2) Строго говоря, это верно только в том случае, если пространство-
время компактно или имеет компактные пространственные сечения.
Пространство Минковского, например, не является вырожденной орбитой,
поскольку от калибровочных параметров 6ja в (95) требуется, чтобы оии
обращались в нуль на бесконечности. Поэтому изометрии Пуанкаре не
содержатся в калибровочной группе.
VI. Квантовая гравитация: новый синтез
343
структура зависит от природы пространственно-временного многообразия М,
ее нельзя рассматривать как расслоенное пространство. Можно привести
правдоподобные соображения в пользу предположения, что в случае
диффеоморфизмов для широкого круга топологий М можно сформулировать
глобально выполняющиеся калибровочные условия. Здесь мы просто допустим,
что подпространство с нужными свойствами существует. Можно считать, что
это подпространство представляет пространство орбитФ/G. Каждая орбита
представляется точкой, в которой она пересекает данное подпространство.
Для того чтобы выразить эту мысль в уравнениях, можно представить себе,
что переменные <р' заменены другими переменными /и1ф], Ра[ф), где
переменная 1А нумерует орбиты и является калибровочно-инвариантной, а
переменная Ра нумерует соответственные точки на каждой орбите. Точку на
каждой орбите, выделенную данным калибровочным условием, можно принять за
начало «координат» Ра на этой орбите. Тогда калибровочное условие имеет
простой вид: Ра=0.
В действительности оказывается более удобным работать с континуумом
калибровочных условий
Р“[Ф] = С“, (109)
где ?“— постоянные (т. е. не зависят от ф'), имеющие значения от —оо до
оо. Чтобы включать всю эту область значений, Ра должны представлять собой
весьма специальную систему координат на орбитах. Эти координаты (в
принципе) могут быть введены следующим образом. Вспоминая, что каждая
орбита (общего вида) является копией G, положим, что начало Яа=0 на
каждой орбите отождествлено с единичным элементом группы G. Затем выберем
в качестве переменных Ра канонические координаты группы, т. е. нормальные
координаты, порожденные однопараметрическими абелевыми подгруппами G.
Имея в виду, что действие калибровочной группы на каждой орбите (общего
вида) имитирует ее действие в самой себе, мы приходим к функциональному
дифференциальному уравнению
<3'«[ф]= (40)
где Qap находятся в том же отношении к групповому многообразию, в каком
Q‘p находятся к Ф. В частности, они удовлетворяют соотношению,
аналогичному соотношению (97):
Q“в.бQ\-Q\ 6<Л= QVW (HD
где греческие индексы после запятой обозначают функциональные производные
по Ра. Легко убедиться, что соотношение (111) является условием
интегрируемости для уравнения (110).
Уравнения (110) и (111) справедливы при любой координати-зации группы.
