Общая теория относительности - Хокинга В.
Скачать (прямая ссылка):
Г, становится очевидным, если заметить, что в силу своей БРС-
инвариантности S также удовлетворяет тождеству Уорда — Такахаши. К
сожалению, вывести из соотношения (170) симметрию Г — намного более
трудная задача. В принципе можно было бы поступить следующим образом.
Предположим, что Г можно разложить в ряд по степеням х<*. Ф“.
368
Б. С. Де Витт
Ki и La- Такое предположение априори не является обращением к теории
возмущений, поскольку это разложение должно быть произведено после взятия
функционального интеграла (144). Оно основано на серьезной уверенности в
том, что (144) ведет себя гладко (по крайней мере после соответствующих
перенормировок) при устремлении к нулю Kt, La, М, 7“ и Jа (и,
следовательно, %а и фа).
При определении того, какие типы членов могут появиться в разложении,
полезно ввести понятие «духова числа^ Если приписывать «духовы числа»: 1
— полю и источнику У“, 0 — ПОЛЮ ф* И источнику У|, —1 — ПОЛЮ Ха и
источникам /а, Ki, М и —2 — источнику La, то легко увидеть, что
подынтегральное выражение в (144) и сам интеграл имеют полное «духовое
число» 0. Следовательно, W и Г имеют полное «духовое число» 0, и все
члены в разложении также обладают этим свойством. Кроме того, разложение
не может содержать члены старше первой степени по М, поскольку М —
антикоммутирующая постоянная.
Если подставить это разложение в равенство (170) и собрать вместе члены
одинаковых степеней, то получится бесконечная последовательность
дополнительных тождеств Уорда — Така-хаши, связывающих коэффициенты,
зависящие от ср. К сожалению, по-видимому, нет никакого легкого способа
получить из этих тождеств какие-либо простые выводы относительно ситуации
в целом. До сих пор тождество (170) применялось лишь к перенормируемым
моделям по теории возмущений порядок за порядком. В этих случаях
тождество сослужило большую службу как в практических деталях
осуществления ренормализационной программы, так и при демонстрации того,
что теория действительно перенормируема во всех порядках и при этом
сохраняется унитарность.
Тождество Уорда — Такахаши должно играть столь же важную
роль в квантовой гравитации. В частности, ожидается, что
оно приведет к следующему результату, который, как обнаружилось,
выполняется в перенормируемых теориях: когда все источники обращаются в
нуль, уравнение (163) (с A=i) должно эффективно сводиться к уравнению
Г,[Ф] = 0, (171)
где функционал Г калибровочно-инвариантен:
Г.-Q'a^O. (172)
В квантовой гравитации (171) есть как раз уравнение (26), причем Г есть
приведенное эффективное действие. Однако доказательство того, что все на
самом деле именно так и обстоит, остается пока программой на будущее.
VI. Квантовая гравитация-, новый синтез
359
6. ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Любой обзор по квантовой гравитации всегда заканчиваешь с острым чувством
того, как много еще остается непознанного, как много еще необходимо
сделать. Наши представления о структуре группы диффеоморфизмов и о типах
глобальных трудностей, которые могут встретиться, носят пока весьма
неполный характер. Эти трудности могут оказаться относительно
безобидными, но могут и привести к огромным осложнениям. Как пример того,
насколько следует быть осторожным, рассмотрим введение канонических
координат в качестве способа получить (в принципе) глобально
выполняющиеся калибровочные условия. Канонические координаты основаны на
однопараметрических абелевых подгруппах. В отличие от положения в
большинстве непрерывных групп однопараметрические абелевы подгруппы
группы диффеоморфизмов не заполняют окрестность единицы (см. [41]).
Имеются определенные С“-диффеоморфизмы, сколь угодно близкие к единице,
которые не могут быть достигнуты из единицы по экспоненте инфинитези-
мального преобразования. Весьма вероятно, что это безобидный факт.
Структура любой ковариантной теории и фактически самой группы
диффеоморфизмов почти несомненно определяется уже теми диффеоморфизмами,
которые получаются из единицы по экспоненте. И мы должны приветствовать
все, что снижает «размеры» группы.
Возможен вопрос: почему мы вообще столь пространно обсуждаем эту группу?
Почему не перейти прямо к инвариантам? Ведь именно в них содержится вся
физика. Ответ таков: было бы прекрасно, если бы это можно было сделать.
Но это не так легко. Мы не можем, например, иметь дело с локальными
полями (тензорами, спинорами), не вводя калибровочной группы, и пока еще
никто не указал, как сформулировать принцип действия без локальных полей.
Эти замечания делаются вовсе не для того, чтобы бросить тень на будущее
квантовой гравитации. Несмотря на трудности, все то, что достигнуто до
сих пор, дает право «болеть» за нее. Полученные результаты столь красивы,
что нельзя в них не верить. Открытие Хокингом квантовых черных дыр уже
показывает, что эта теория, как никакая до нее, соединяет теорию
относительности, теорию квантов и статистическую механику в одно
гармоническое целое. Вызывает чувство удовлетворения тот замечательный
