Геометрические идеи в физике - Хокинг С.
Скачать (прямая ссылка):
Так мы приходим к картине, которую Уилер назвал «пеной» и в которой пространство-время на крупномасштабных расстояниях представляется гладким и почти плоским, но на мелкомасштабных расстояниях порядка планковской длины сильно искривлено и наделено всевозможными топологиями. В этой статье я попытаюсь построить математическую схему для описания такой пеноподобной структуры пространства-времени. Я буду использовать подход, основанный на континуальном интеграле, так как, насколько можно судить, только такой подход позволяет справиться с нетривиальными топологиями [4—6]. Чтобы улучшить сходимость континуального интеграла, я буду работать в «евклидовом режиме», т. е. вычислять интеграл по всем положительно определенным метрикам, а полученные результаты в случае необходимости продолжать аналитически в лоренцев режим. Поскольку пена, по-видимому, простирается повсюду, асимптотически евклидовы метрики, т. е. -метрики, стремящиеся к плоской метрике на R4 вне некоторой ограниченной области, непригодны. Чтобы избежать необходимости вводить граничные члены в действие [4] и все же обеспечивать конечные метрики с конечным действием, я буду рассматривать только компактные многообразия. Этим я отнюдь не утверждаю, что реальное пространственно-временное многообразие чепременно должно быть компактным. Рассмотрение компактных многообразий — не более чем удобный прием введения нормировки, аналогичный введению «ящика» конечных размеров с периодическими условиями на стенках в обычной квантовой механике. Компактные многообразия позволяют вычислять плотность некоторых величин в единичном 4-объеме пространства-
2. Пространственно-временная пена 49
времени, а затем переходить к пределу при 4-объеме V, стремящемся к бесконечности. Для этого к обычному гравитационному действию—J R (g)'h d*x удобно добавить член типа
источника А7/8я, где Л — множитель Лагранжа. Коэффициент 1/16я выбран из соображений удобства. Этот член имеет такой же вид, как и обычный космологический член, хотя он включен в действие по совершенно иным мотивам и принимает другое значение: как показывают наблюдательные данные, любой космологический член настолько мал, что величиной его почти всегда можно пренебречь, в то время как множитель Лагранжа Л дает главный вклад, если он отрицателен и имеет величину порядка 1 в единицах Планка. В некоторых теориях супергравитации [7, 8] члены с A имеют тот же знак, что и у нас, и принимают значения, связанные со значениями констант связи векторных частиц. Поэтому некоторые идеи данной статьи могут найти применение в этих теориях.
Можно надеяться, что главный вклад в континуальный интеграл будут давать метрики вблизи точек стационарной фазы действия, содержащего Л-член. Это приводит к рассмотрению положительно определенных метрик, удовлетворяющих уравнениям Эйнштейна с A-членом на компактных многообразиях с очень сложными топологиями. При больших значениях эйлеровой характеристики % решения, по-видимому, существуют только при отрицательных А (со знаком, противоположным знаку для S4), и действие для таких решений имеет величину порядка —ХА-1. На интуитивном уровне эту оценку можно интерпретировать как сумму действий % «гравитационных инстантонов», каждый из которых обладает действием порядка А-1. Поскольку вид конформной аномалии известен [9], можно оценить однопетлевые члены. В случае чистой гравитации эти оценки позволяют предположить, что главный вклад в континуальный интеграл дают метрики с эйлеровой характеристикой % порядка V, т. е. дающие один инстантон на единицу планковского объема. В случае теорий супергравитации с A-членом удается определить предпочтительное значение для константы связи е.
План настоящей статьи заключается в следующем. В разд. 2 рассматривается топология компактных 4-мерных многообразий. Односвязные многообразия со спинорной структурой, по-видимому, допускают классификацию по эйлеровой характеристике х и сигнатуре т. В разд. 3 вводится объемный канонический ансамбль и определяются статистическая сумма Z[А] и плотность состояний N(V). В разд. 4 рассматриваются классические решения уравнений Эйнштейна с A-членом. Вычисляются границы и оценки для действия решений с большими значениями эйлеровых характеристик. В разд. 5 приведено разложение континуального интеграла, взятого по всем метрикам, на
50 С. У. Хокинг
интеграл по конформным множителям, который в свою очередь интегрируется по классам конформной эквивалентности метрик. Точками стационарной фазы при первом интегрировании яв-ляются метрики с R = const, а при втором интегрировании — классические решения. В разд. 6 вычислена оценка континуального интеграла для Z [Л] в однопетлевом приближении. Из нее следует, что главный вклад в число состояний с заданным объемом V дают эйлеровы характеристики % порядка V, т. е. эйлеровы характеристики, соответствующие одному гравитационному инстантону на единицу планковского объема. В разд. 7 рассмотрены теории супергравитации с внутренней симметрией. Континуальный интеграл достигает максимума при некоторых «избранных» значениях е' констацты связи.
