Геометрические идеи в физике - Хокинг С.
Скачать (прямая ссылка):
S + W^s') (§Yk d*x, (4.6)
где поле Майораны со спином 3/2 представлено евклидовыми спинорами (Paba- и Ум#, а ток источников — величинами г) и fj.
1. Евклидова квантовая теория гравитации 41
Если источники имеются, то амплитуда Z [ті, fj] перехода из вакуума в вакуум пропорциональна
Щ ^WtIasa'(?),/гЛ> (4-7)
П
где фдвд-— 2т нулевых мод с положительной спиральностью и спином 3/2. К амплитуде Z, даваемой выражением (4.7), необходимо прибавить значение Z порядка единицы, возникающее из-за однопетлевой поправки к плоскому евклидову пространству. Затем вычисляют функциональные производные по г) в 2т точках, что приводит к 2т-точечной функции, нарушающей закон сохранения спиральности, т. е. превращающей х частиц с положительной спиральностью в то же число частиц с отрицательной спиральностью.
Простейший автодуальный АЛЕ-инстантон — инстантон Ery-чи —Хансона [16] — имеет т= 1. Следовательно, мы получаем изменяющую спиральность двухточечную функцию, которую можно было бы рассматривать как массовый член со спином 3/2 в заданной метрике. Ho поскольку инстантон Егучи — Хансона асимптотически стремится к евклидову пространству, в котором точки Xf1 отождествлены с точками —Xа, то эту же функцию допустимо интерпретировать как четырехточечную функцию на евклидовом пространстве, которая превращает 2 частицы со спинами 3/2 и положительными спиральностями в их TP-аналоги— две частицы с отрицательными спиральностями, но с теми же импульсами.
Аналогичная ситуация возникает и в расширенных вариантах теорий супергравитации. Единственное отличие состоит в том,что число нулевых мод со спинами 3/2 в этом случае равно 2тN, где N — число полей со спином —3/2. Следовательно, мы получаем 2xiV-T04e4HHe амплитуды, изменяющие спиральность. Таким образом, расширенные теории супергравитации охватывают поля со спином 1 и могут включать поля со спином 1/2 и 0. Нулевые моды полей со спинами 1/2 и 0 в автодуальной АЛЕ-инстантонной фоновой метрике отсутствуют. Существуют т нулевых МОД CO СПИНОМ 1, HO они не входят в однопетлевой член, поскольку их происхождение не связано с потенциалом. Если эти нулевые моды—калибровочные поля (абелевы или иного типа), то их можно квантовать по аналогии с условием Дирака для магнитных монополей.
5. Пространственно-временная пена
Теперь я вернусь к вопросу о том, как трактовать классы конформной эквивалентности метрик на компактном многообразии А5, обладающие отрицательными или нулевыми собствен-
42 С. У. Хокинг
ными значениями конформно инвариантного оператора Д. В этих случаях асимптотически евклидов представитель g* класса конформной эквивалентности, который имеет R* = 0 и является точкой стационарной фазы относительно конформных преобразований, сингулярен и содержит область, обрезанную нулевым конформным множителем. С другой стороны, в этом же классе конформной эквивалентности можно найти компактную метрику g' с R' = —4Л, где h — положительная константа. Метрику g' можно нормировать, потребовав, чтобы ее 4-объем был равен единице.
Значимость метрик g' обусловлена тем, что они являются точками стационарной фазы относительно конформных преобразований в объемном каноническом ансамбле, определение которого будет дано ниже. Физическая идея состоит в том, что в квантовой теории гравитации приходится суммировать по метрикам с весьма сложной топологией. Такая «пеноподобная структура» [24] простирается всюду, поэтому пространство-время на самом деле нельзя считать асимптотически евклидовым, хотя такая точка зрения удобна при интерпретации амплитуд как элементов S-матрицы.
Чтобы все величины оставались конечными, удобно рассматривать компактные метрики с некоторым заданным большим значением 4-объема V. Это отнюдь не означает, что пространство-время непременно компактно, а представляет собой всего лишь удобный способ введения нормировки, аналогичный периодическим граничным условиям в обычной квантовой механике. Мы хотели бы вычислить плотность тех или иных величин, приходящуюся на единичный объем, а затем перейти к пределу при V, стремящемся к бесконечности.
Чтобы ограничить 4-объем, добавим к гравитационному действию член AV/8л, где Л — множитель Лагранжа. Этот дополнительный член имеет такой же вид, как и космологический член, хотя введен по иным мотивам и имеет совершенно иное значение: как показывают наблюдательные данные, любой космологический член должен быть настолько малым, что величиной его практически можно пренебречь; в то же время множитель Лагранжа, как мы покажем, дает основной вклад, если он имеет величину порядка единицы в единицах Планка. Составим статистическую сумму Z[Л] для того, что я называю объемным каноническим ансамблем [25], взяв континуальный интеграл по всем компактным положительным полуопределенным метрикам:
Z [Л] = SjD [е] exp (— / [е]) = Y1 I exp (— AV/8л) | gn), (5.1)
П
где действие включено в Л-член. Статистическая сумма есть преобразование Лапласа от N(V)dV — числа состояний грави*
1. Евклидова квантовая теория грцритацци 43
тационного поля, заключенных в интервале от V до V -j-dV:
