Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Хепп К. -> "Аналитические свойства амплитуд рассеяния в локальной квантовой теории поля" -> 53

Аналитические свойства амплитуд рассеяния в локальной квантовой теории поля - Хепп К.

Хепп К., Энштейн А. Аналитические свойства амплитуд рассеяния в локальной квантовой теории поля — М.: Атомиздат , 1971. — 241 c.
Скачать (прямая ссылка): analitsvoystvaamplitud1971.djvu
Предыдущая << 1 .. 47 48 49 50 51 52 < 53 > 54 55 56 57 58 59 .. 66 >> Следующая

Н8' и Н8" (граничные значения
УЧ УЧ
г8' и г4*" которых совпадают друг с другом в Жх), найдем, что для каждой
точки р&Жх существует открытое множество
А(р)= {k' = p' + iq': || р' - р\\ <р(р),
II II < р (р), +
и голоморфная в А(р) функция, которая совпадает с Н8' (соответственно
Н8") в А (р) f) aFs' (соответственно в А(р) f\oT8"). Здесь р (р) -
положительное число, такое, что
{рг: н р'-р н <ртс.жх.
Для каждого а(0<ц^1) и каждого ЛeL (L -вещественная однородная группа
Лоренца с отражениями) функции k-+Hs' (aAk) и k->-Hs" (aAk) голоморфны в
&s' и и имеют равные граничные значения на множестве сг'А-'Жх, содержащем
Жх. Поэтому они обладают аналитическим продолжением в А(р). Отсюда
следует, что исходные функции Hs' и Hs" обладают аналитическим
продолжением в вЛА(р).
Пересечения множеств аАА(р) и в'А'А(р'), когда они непусты, имеют вид
W = Р" + iq": II Л-1 (р" - р) II < ар(р),
II Л'-1 (;о' - р') || < а'Р (р'), || Л-1 (q" - q) || < ар (р),
II Л'"1 (.7" - q') II <а'р(/>'), q"^rS' + Г3'}.
Оно выпукло, поэтому связно, и содержит точки eT^'IJ \J&S\ так что
продолжения функции Hs' в аАА(р) И а'А'А'(р') согласуются в их
пересечениях. Таким об-
185
разом (см. гл. 2, § 1), существует функция, голоморфная в области
B(S',S") = U оАА(р),
о<о<1
л е?.
которая совпадает с Hs' (соответственно Ss") в В (S', S") C]iTs'
(соответственно в В (S', S") f)?Ts")-Множество В (S', S") является
областью, инвариантной относительно вещественной группы Лоренца и
звездообразной относительно точки 0.
Легко увидеть при помощи того же метода, что существует область В,
инвариантная относительно L, звездообразная относительно 0, содержащая 0
и все вещественные точки в
и функция, голоморфная в В и совпадающая с Hs в В f)?Fs для каждой S.
Из гл. 2, § Зг следует, что Bf]B(S', S") связно. Оно содержит точки из
аГ. Поэтому существует однозначное продолжение функции Hs' в BCl?(S',
S"). Продолжая эту процедуру шаг за шагом, мы увидим, что существует
функция Н, голоморфная в
которая совпадает с Hs в еГ3 для каждой S. А - ло-ренц-инвариантная
звездообразная (относительно 0) область, содержащая 0. А назовем
примитивной областью аналитичности (п+1)-точечной функции.
Применяя теорему из § 4, гл. 2, мы видим, что А обладает оболочкой
голоморфности Ж(А), которая является областью в С4п (для случая (и+1)-
точечной функции) со следующими свойствами:
1. &С (А) звездообразна относительно 0;
2. Щ(А) инвариантна относительно вещественной группы Лоренца L.
Применим теперь следующую теорему.
31 = п
X
Первые следствия
186
Теорема 3.1. Пусть D - область в С4", инвариантная
относительно L+ и такая, что для каждой "времяподоб-ной подгруппы" группы
L+, |-"-зсм(|), существует непустое открытое множество WM области D,
инвариантное относительно соответствующей комплексной подгруппы (?)
(?еС). Пусть / - голоморфная в D функция. Тогда существует функция F(A,
z), голоморфная в L+(C)XD, такая, что F(A, z)=f(Az) в окрестности
4х?>.
Здесь L+(C)-комплексная связная группа Лоренца. "Времяподобной
подгруппой" группы L+ является однопараметрическая подгруппа вида
XM(i) = exp %М>
М = е0Леь причем е0 и ех - два вещественных четырехмерных вектора, таких,
что (е0, е0) = 1, (еь е{) = - 1, (еь е0) =0.
Эта теорема представляет собой некоторое обобщение теоремы Глазера и
Стритера (см. [38-40]), которая может быть расширена на случай весьма
общих комплексных групп Ли. Семейство времяподобных подгрупп может быть
заменено любым семейством однопараметрических подгрупп, генераторами
которых являются операторы полного множества в алгебре группы Ли.
Для того чтобы доказать, что теорема применима к имеющейся ситуации, мы
должны проверить существование Wm для каждого М = е0А е\. Для этой цели
мы выбираем лоренцевы координаты так, чтобы е0- = (1, 0, 0, 0), в\ = (0,
1, 0, 0). Если мы пользуемся переменными
Uj = k°-\-k)\ Vj = k°j - k)\ О </'<",
то k'=(expt,M)k будет таким, что
и] - е°и р V/ - е"~Чу> 4 = 4 4 = 4
Рассмотрим, в частности, вещественную точку р, для которой
Uj > 0, Vj < 0 при 1 < j < п.
187
Тогда р'= (exp i0M)jt> будет таким, что
и) = и^е10, v'j = - | Vj | е~10 (1 < / < /г)
и будет содержаться в ±<5rs" при 0^feO (mod я) (напомним, что = {k=~p+iq
: 1^/^п}). При 0 =
= ±я мы имеем p 'i <0 для всех /сг{0, п}, так что
р'еА. Таким образом, компактное множество
(J (expi 0Af) р
0"Х2я
содержится в А. Поэтому можно найти действительное г>0, такое, что
множество
U (expi0M){A':||A' -р|]<г}
О<0<2л
также содержится в А. Наконец, так как LAczL, то и множество
WM={){zxVm)W:\\k'-p\\<r]
сес
содержится в А.
Теорема 3.1 и тот факт, что Ж должна быть простой, означают, что Ж
инвариантна относительно комплексной труппы Лоренца L+(C) и даже
относительно L(C), так как А инвариантна относительно отражений. Класс
голоморфных в А функций, порожденных множеством функций, удовлетворяющих
штейнмановским тождествам, имеет оболочку голоморфности Ж*(А), строго
большую, чем Ж (А). Однако при помощи рассуждений, аналогичных
Предыдущая << 1 .. 47 48 49 50 51 52 < 53 > 54 55 56 57 58 59 .. 66 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed