Аналитические свойства амплитуд рассеяния в локальной квантовой теории поля - Хепп К.
Скачать (прямая ссылка):
= . . •=-/"(*1. • • .. хпУ
Тогда существует функция zn), голоморфная
в области
jz:0<y*< 1(1 <?<n); 2j0y<l}=tf
и принадлежит классу С°° в замыкании этой области, которая совпадает с
fk(xi,..., zu,..., хп) при </j=0 Цфк), О^г/ft^l, (1 <Л<я).
Мы докажем эту теорему только для п=2, доказательство для общего случая
аналогично, но требует некоторых осложнений алгебраического характера.
Доказательство состоит из двух этапов.
1. Доказательство для ограниченных функций. Предположим, что
существует константа М>0, такая, что
I Mzь хг) 1 < м н ! /Д*!, z2) | <М везде, где эти функции определяются.
Положим
§1 (Zl> Хй) - (Z1 + 0 1 (х2 + i)-1 fl(Zl, Х2),
62 (*ь 2г) = (xi + О-1 (z2 + i) 1 h (хъ Zi)-
Тогда g\ и g2 обладают свойствами 1) и 2). Мы покажем теперь, что
существует функция G(zlt z2), голоморфная в области Н и принадлежащая
классу С°° в Н. которая имеет g 1 и g2 своими граничными значениями.
Если функция G действительно существует и обращается в нуль на
бесконечности, то мы можем вычислить ее при помощи формулы Коши. Введем
вспомогательные переменные w=Zi + z2, u-z\-z2 и зафиксируем w так, что
0<1пш<1. Пересечение определяемого таким образом многообразия с Н
представляет собой полосу (относительно переменной и), определяемую
условием 0<1т(до+и), 0<1т(о>-и), т. е.- 1шш<1ши< <1шw. Обозначим
G (;ги za) = G (2Х 4- z2, zx - z2) - G (w, u),
6 Зак. 954
161
Мы имеем
-j-00-W -¦'¦ч CC-f-O) ^
1 j' G(w, и') du' 1 (* G (w, u") du"
6(w, u)=- f GK"W- J. Г
2jii J к' - и 2ni J u" - и
-00-W -oo-j-0)
Производя в первом интеграле замену переменных и' = = 201-w, а во втором
- замену переменных и" =
= -202 + ДО, мы получим
(+с j
4-00
[* G (Qi, Zy -j- z% - 0t) dOj ^
0X -гх
, С G (z, 4-г,-0;,, 62)rf0,
J 0' - z>
G(zb z2) = -Lff g2(ei,Zl + Za~et)fie'- + 2J11 J 01*-^
(+" I
oo
ffi (zi + z2 - Oj, 02) dQ.) 02 - Z1
Воспользуемся написанной формулой в качестве определения функции G. Она
является голоморфной функцией в Н,_как это легко проверить, и принадлежит
классу С00 в Я в силу известных теорем. Таким образом, остается только
показать, что она совпадает с fi и /г в соответствующих множествах. Для
этой цели вычислим
lim G(xt -f is, x2 -f ie) = lim Г -- X
e->0 e-Ч) L 2ni
e>o e>o
f* gi (*i -|- x2 -f- 2ie - 02, 02) d0a |
J 0a - x2 - is
i Г gz (0i i xi -j~ x2 2i a - 0X) riOi 1
2ш J 0i - Xi - i e J
162
Введем в первый интеграл новую переменную, опреДе-ляемую соотношением 0i
+ 02=*i+*2, т. е. 02=*i +
+ Х2-01,
и получим
limГ_ ^ Г Si(^i + е, хi + Х-г - 9i)ddi
е->о L 2(tm) J 01 - Хх ¦+• ie
Е> О
I 1 Г g2 (01" xi ~Ь хг - Si Ч~ 2ie) йв% ~|
2ni J 0Х - xi - is J
Легко показать, что этот предел равен
СО
lim ^ Г | g2 (0i> *i + х-i - Qi) _ gi (0i, хх + х-i - Qi)
б-+о 2л1 J [_ - Xi - is 0^ -*• -J- is
е>0 -оо
(2.6)
Поскольку g2(01, Х\+Х2-0l) = gl(01, Xl + X2-0l) =
=g(0i, xi + x2-0i), то оказывается, что этот предел равен g(xb
x2)=gi(xi, x2)=g2(xu x2). Так как G(zi, x2) и
gi(Zb x2) голоморфны no z\ в одной и той же области и совпадают друг с
другом в вещественных точках, они совпадают друг с другом везде. Поэтому
G(zu х2) - = g\{z\, х2) и G(x 1, z2)=g2(xu z2).(G(zu х2) голоморфна, так
как она принадлежит классу С°° и удовлетворяет уравнениям Коши - Римана
по х\ и г/ь) Искомая функция равна
F(zu г2) = (z, i)(z2 + i)G(zlt z2),
и теорема доказана для случая ограниченных функций.
Замечание
Если бы мы знали только то, что ft (Х\, х2) и f2 (Jfi, х2) [и поэтому g,
(xi, х2) и g2 (xi, х2)] совпадают друг с другом всего лишь в вещественных
точках, таких, что |xi+x2| <rj, то из формулы (2.6) следовало бы также,
что G (хi, x2)=gi(xi, x2)=g2(xu х2) в этих точках. Тогда из
аналитического продолжения следует, что G(xt, X2)-gi(x\,X2)=g2(Xi, x2)
везде и, в частности, что fi(xbx2) = -h(xи *г) везде. Это замечание после
соответствующей разработки приводит к довольно общему доказательству
"теоремы о двойном конусе" (см. теорему 2.7).
2. Доказательство для общего случая (с двумя переменными). Определим
область D(т, а) в комплексной плоскости переменной z следующим образом:
D(t, а) = jz: 0 < arg^^ < "j,
6* 163
где т>0 и 0<"<л. Эта область ограничивается сегментом [-т, т]
вещественной оси и другой окружности,
проходящей через точки т, -т и rctg-^-(pHC. 3). Конформное отображение
E=6+i4-=-i-ig^-; (z=Tthf)
преобразует биголоморфно D(x, а) в полосу {?:0<щ<1} иа комплексной
плоскости переменной
Возвращаясь к ситуации в теореме (с двумя переменными), мы вписываем в
каждую полосу {0<г/3-<1} (/=1, 2) область D(t, az ), где at удовлетворяет
т. е.
at = 2 Arctg - .
т
Для фиксированного т определим Фз(^1. ?а) =
(Si - 5i + i%. Са - ?а 4" *%)•
Функции <pi и фг удовлетворяют относительно переменных таким же условиям,
что и fi и f<z относительно
164
переменных Zj. Более того, они ограничены, так как
принимают значения функций fi и /2 на компактном
множестве. Поэтому мы можем применить к ним теорему, доказанную для
ограниченных функций, и заключить, что существует функция <D(?i, ?2),