Теория групп и ее применение к физическим проблемам - Хамермеш М.
Скачать (прямая ссылка):
буу’Ьц’б
V.A- Р
\ і а е
а, е L-
к
а е
]]'
находим
У а р К У' а р
і ./
а е і а е
= 6YY'6/
(7.228)
или же, полагая j = J и у = УГ
ау е
Важно отметить, что равенство (7.228), заключающее в себе первое условие унитарности матрицы К, относится только к тем у, которые отщепляются от одного и того же представления yh действующего па п — 1 символов. Чтобы доказать, что матрица К унитарна, мы должны вывести второе условие, соответствующее равенству (7.188а). Умножим теперь (7.226) на аналогичное выражение
у а р
6’
3
іja’b’e’f
= к
і а е
и просуммируем 110 Y. 1. J¦
2К
у, і, і
~ у а Р ~у а Р "
і а е К і а' е'
S'iPcPeS'tf’-a'be' — Jb }°jb' }'
= 2 SbaJ/Sba'b'%r=taa.6bb'6ee^ V, t, J
//'•
(7.229)
Где при выполнении последнего преобразования мы воспользовались условием унитарности (7.188а). Умножим теперь обе части равенства на
SV
"4S
kb / k U' /'
§ 14. Коэффициенты Клебша — Гордана для симметрической группы 321
и просуммируем по Ь, /, Ь', /':
К
2*
V, I, 1
у а р і а е
у а М У Sv;V4Sv'aA У s^'VlVsWlV =
/ а' е' \ h lb f kb f Zi * ь’ /’ Л>’ f
v, I, j
Yap і a e
' у a p ¦
К . f /
i a e
v, і vrv'
~y a p К "yap
і і a' e'
a e
ft', /'
6(Y', Y,)6yft =
___A A , V 9V'a p ov'a 'P . _
— <W<W *“/ * b f ~
*, /
= в«Ае- ^(5П^)2 = 6аа,6ее, , *./
T. e.
2*
v, * v,-v'
у a P' 'у a p '
I a e К I a' e' _
— ^aa’^ee’ •
(7.230)
Это—в точности второе условие унитарности матрицы К. Таким образом, у нас имеются условия унитарности (7.228) и (7.230), необходимые для определения матрицы К. До сих пор мы ограничивались перестановками, не меняющими положение последнего символа. Применим (7.190) к транспозиции (л, л—1). (При этом возникает необходимость введения тройных нижних значков: первые два служат первыми двумя символами в К-символе, а третий означает остальные Символы, входящие в К-символ.) Поскольку транспозиция (л, л—1) воздействует лишь на первые два символа в К-символе, то появляются лишь матричные элементы вида Dabr.cdr- Кроме того, из (7.111) мы знаем, что матричные элементы для транспозиции (л, л— 1) имеют вид
Dlbr, cdr = KAAct+slAAc’ (7-231)
где /“ft—величина, обратная аксиальному расстоянию а—Ь [в (7.111) вместо / мы использовали символ о], а
С, = VA1-(/“ft)2.
Подставим (7.231) в уравнение
2 Sfjtaabr%sDaabr, cdr&efs, ghs = S Dljt, kitS'ki/cdrghs’ (7.232)
ab, ef k,l
322
Глава 7. Симметрическая ipynna
получим
ijs)iLrghs- (7-2326)
Подставляя в это соотношение матрицы К из (7.226), находим
Поскольку коэффициенты Клебша—Гордана для л— 1 частиц известны, равенство (7.233) и условия унитарности, наложенные на К, позволяют найти матрицу К и определить с помощью соотношения (7.226) коэффициенты Клебша — Гордана.
Фактическое вычисление рекуррентной матрицы К чрезвычайно трудоемко, но все же гораздо проще, чем непосредственное вычисление коэффициентов Клебша — Гордана. В процессе отыскания матрицы К уравнение (7.233) будет иметь (усф) решений, если мы придем к рассмотрению случая (усф) > 1. Общего критерия для отбора решений не существует.
При малых значениях л коэффициенты Клебша—Гордана можно вычислять либо непосредственно, либо же, что даже еще легче, из матрицы К. Мы не станем выписывать никаких общих формул, полученных для матриц К, а вместо этого приведем один из более
простых результатов. Внутреннее произведение (Л--1, 1) X (л — 1. 1)
содержит перестановку (л—1,1) с коэффициентом единица. Если обозначить базисную функцию, имеющую символ I во второй строке схемы, через fi (или Ft), то
п V(n — 1) (и — 2)
(«-2)/„/;-]?///; • (7-234)
Таблица 31
Таблица характеров для симметрических групп
я = 3
Разбиение Класс
I (I») 3 (1, 2) 2 (3)
(3) 1 1 1
(2, 1) 2 0 —1
(I3) 1 —1 1
л = 4
Разбиение Класс
I (I4) 6 (I3, 2) 8 (1. 3) 3 (23) 6 (4)
(4) і 1 1 1 1
(3, 1) 3 1 0 —1 —1
(22) 2 0 —1 2 0
(2, 1=) 3 —1 0 —1 1
(I4) 1 —1 1 1 —1
п = 5
Класс
Разбиение і 10 20 15 30 20 2-І
(і») (1*, 2) (Iі, 3) (1, 2!) (1. 4) (2, 3) (5)
(5) 1 1 1 1 1 1 1
(4, 1) 4 2 1 0 0 —1 -1
(3, 2) 5 1 —1 1 —1 1 0
(3, 1=) 6 0 0 —2 0 0 1
(22, 1) 5 —1 —1 1 1 —1 0
(2, V) 4 —2 1 0 0 1 —1
(1*) 1 —1 1 1 -1 -1 1
Продолжение
п — б
Класе
Разбиение 1 15 40 45 90 120 144 15 90 40 120
(І6) (!', 2) (І3, 3) (12, 23) <1г, 4) (1, 2, 3) (1, 5) (2s) (2, 4) (З2) (6)
(6) і 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
(5, 1) 5 3 2 1 1 0 0 —1 —1 —1 —1
(4, 2) 9 3 0 1 —1 0 —1 3 1 0 0
(4, І2) 10 2 1 —2 0 —1 0 —2 0 1 1
(З2) 5 1 —1 1 —1 1 0 —3 —1 2 0
(3, 2, 1) 16 0 —2 0 0 0 1 0 0 —2 0
(23) 5 —1 —1 1 1 —1 0 3 —1 2 0
(3, і3) 10 —2 1 —2 0 1 0 2 0 1 —1
(22, І2) 9 —3 0 1 1 0 —1 —3 1 0 0
(2, І4) 5 —3 2 1 —1 0 0 1 —1 —1 1
0е) 1 —1 1 1 —1 —1 1 —1 1 1 —1
Продолжение
п — 1
Разбиение Класс
1 (I7) 21 (!', 2) 70 (К, 3) 105 (Is, 2а) 210 (I3, 4) 420 (Is, 2, 3) 504 (1г, 5) 105 (1, 23) 630 (1, 2,4) 280 (1, 3’) 840 (1, 6) 210 (22, 3) 504 (2, 5) 420 (3, 4) 720 (7)
(7) і 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
(6, 1) 6 4 3 2 2 1 1 0 0 0 0 —1 —1 —1 —1
(5, 2) 14 6 2 2 0 —1 2 0 —1 —1 1 0
(5, I2) 15 5 3 —1 1 —1 0 —3 —1 0 0 —1 0 1 1
