Квантовополевая теория твердого тела - Хакен Х.
Скачать (прямая ссылка):
= (з-з)
Это соотношение следует понимать в том смысле, что мы считаем обе части
(3.3) действующими на некоторую волновую функцию ф, используя явное
представление (3.2) оператора р:
= (3.4)
Если продифференцировать первый член в (3.4) по правилу дифференцирования
произведения, мы получим
5СЙ/г)ф+ (% Ji)q(dJdq)ty.
Выделяя в этом выражении второй член, который взаимно уничтожается со
вторым членом в (3.4), мы получаем, естественно, сразу правую сторону
(3.4). Поскольку (3.4) справедливо для любой дифференцируемой функции, мы
можем считать (3.3) тождеством.
Хотя обоснование (3.3) может показаться тривиальным, перестановочные
соотношения такого рода имеют основополагающее здаченио для всей
квантовой теории поля. Мы действительно увидим, что многие проблемы
физики твердого тела и квантовой оптики (а также и других областей) могут
быть сформулированы с помощью квантовой теории поля и решены при умелом
применении перестановочных соотношений. Однако вернемся вначале назад к
гармоническому осциллятору. Если подставить (3.2) в (3.1), мы получим
оператор Гамильтона гармонического осциллятора. Тогда уравнение
Шредингера принимает вид
{- +*т (?)=^(?)- (з-5)
Для дальнейшего обсуждения (3.5) введем безразмерную координату % с
помощью соотношения
§ 31 ОПЕРАТОРЫ РОЖДЕНИЯ II УНИЧТОЖЕНИЯ 23
после чего уравнение Шредингера (3.5) принимает вид
^{-^+фш = ?ф(?). (3.7)
Если бы с операторами | и можно было обращаться как с обычными числами,
было бы очевидно, что стоящий слева в (3.7) оператор
(~|+г) (3.8)
можно рассматривать как выражение
(~а2 + р2) (3.9)
н соответственно этому провести разложение вида
(-а + р)(а + р). (3.10)
Попытаемся вместо левой части (3.7) подставить выражение
+ ^ (ЗЛ1)
Если мы перемножим скобки (при этом следует учесть точный порядок
следования операторов |, d/d%), то мы получим
_ ^ - V. -
Первое выражение, как мы и хотели, совпадает с левой стороной
(3,7). Второе с учетом перестановочного соотношения
(ЗЛ2)
переходит в выражение
II = - (3.13)
(Перестановочное соотношение (3.12) сразу получается из приведенного выше
соотношения (3.3), в котором мы заменяем q на \ согласно (3.6).)
24
ГАРМОНИЧЕСКИЕ ОСЦИЛЛЯТОРЫ
[ГЛ. 11
Стоящие в (3.11) выражения в скобках также представляют собой некоторые
операторы, которые мы вначале чисто формально обозначим кратко следующим
образом:
Поскольку (3.11) и левая часть (3.7) отличаются лишь дополнительным
членом (3.13), мы введем смещенную энергию
Тогда уравнение Шредингера (3.7) окончательно принимает следующий вид:
Для того чтобы вывести перестановочные соотношения для операторов Ь и Ь+,
составим выражение ЬЪ+ - Ь+Ъ и заменим в нем операторы согласно (3.14) и
(3.15). Применяя затем (3.12), мы непосредственно получаем
основополагающее перестановочное соотношение
Операторы, удовлетворяющие соотношению (3.18), мы назовем, по
соображениям, которые будут ясны позже, бозе-операторами.
Покажем теперь, как с помощью операторов Ь+ и Ъ и перестановочного
соотношения (3.18) простым образом можно сконструировать собственные
состояния гармонического осциллятора. Для этого будем исходить из того,
что энергия квантовомеханического осциллятора всегда положительна (см.
задание 1) и всегда, следовательно, ограничена снизу. Обозначим
соответствующее наи-
Применяя перестановочное соотношение (3.18), перенесем в левой части
(3.20) первый оператор Ь направо, тогда получим
(3.14)
(3.15)
(3.16)
| fi(xib+bty = E'ty.
(3.17)
j ЪЪ+ - b+b = 1.
(3.18)
г
низшему значению энергии Е0 состояние через г|?о. Умножим уравнение
Йо>Ь+Ьф0 =
(3.19)
слева на оператор Ъ, что дает
(bb+b) = #оЦ)0-
(3.20)
(3.21)
1) Ь+ читается "б-крест".
ОПЕРАТОРЫ РОЖДЕНИЯ И УНИЧТОЖЕНИЯ
25
Перенесем, наконец, ЙюЬг|)0 в правую часть, после чего находим
%u)b+b(b\|)0) = (Е0 - Йсо) Ьф0. (3.22)
Это уравнение, однако, означает, что Ьг|)о является новой собственной
функцией с собственным значением Е0 - %а, в противоположность нашему
предположению, что я|з0 - наинизшее состояние. Это противоречие
разрешается, если положить
Ьф0 = 0. (3.23)
Именно это уравнение и служит в последующем изложении определением
основного состояния ^о- Чтобы увидеть это по возможности отчетливо и
установить связь с известными волновыми функциями осциллятора, вернемся
на момент к операторам g и cj/dg согласно (3.14) и (3.15). Тогда (3.23)
переходит в дифференциальное уравнение первого порядка
GJ + ^K^) = 0' ' (3-24)
которое, очевидно, имеет решение вида
ф0 (?) = Се-6*/*. (3.25)
Это решение, естественно, есть волновая функция основного состояния
осциллятора. Теперь мы хотим провести решение уравнения (3.17), для чего
нам дифференциальные уравнения больше не понадобятся. Мы найдем волновые
функции и значения энергии чисто алгебраически. Для этого умножим
уравнение (3.17) слева на Ъ+:
Ь+(й(оЬ+Ь)г|) = .ГЬ+г|). (3.26)
С помощью перестановочного соотношения (3.18) и проведенного ранее
преобразования мы затем получаем
П">Ъ+Ъ(Ь+ц) = (Е'+%w)b+% (3,27)
