Синергетика: иерархии неустойчивостей в самоорганизующихся системах и устройствах - Хакен Г.
Скачать (прямая ссылка):
(1-13.8)
Этот подход, часто называемый адиабатическим приближением, позволяет явно
выразить q2 через qx. В таких случаях говорят, что переменная q2
подчинена переменной qj. Подчинение перемен-
62
Глава 1
ной ,q1 очень большого числа переменных позволяет существенно упростить
сложную задачу: вместо большого числа переменных для различных q мы можем
рассматривать лишь одно уравнение для qlt а затем воспользоваться
принципом подчинения и выразить все q через qx. В таких случаях
переменная q1 называется параметром порядка. Разумеется, в
действительности мы можем столкнуться с более сложной ситуацией. Тогда
уравнения (1.13.5) и
(1.13.6) нам придется заменить более сложными уравнениями. Коэффициенты
таких уравнений могут зависеть от времени. Кроме того, они могут
содержать флуктуирующие силы. Не следует забывать и о том, что уравнения
(1.13.7) и (1.13.8) - не более чем аппроксимации. Следовательно,
необходимо разработать общий метод, позволяющий выразить q2 через q±. В
гл. 7 мы покажем, что q2 (t) действительно можно выразить через q1 (t)
при одном и том же t и что для широкого класса стохастических нелинейных
дифференциальных уравнений с частными производными существует метод,
позволяющий найти функцию q% (t) = f (qx (^)). Между потерей устойчивости
в линейном приближении, наличием параметров порядка и выполнимостью
принципа подчинения существует весьма важная внутренняя взаимосвязь. При
изменении параметров управления система может потерять устойчивость в
линейном приближении. Как видно из (1.13.5) и (1.13.6), Re (XJ в таких
случаях изменяет знак, т. е. становится очень малой величиной. В подобных
ситуациях применим принцип подчинения. Следовательно, можно ожидать, что
в тех точках, где происходят структурные изменения, поведение системы
определяется только параметрами порядка. Как мы уже увидим, эта связь
между тремя понятиями (потерей устойчивости в линейном приближении,
параметром порядка и принципом подчинения) приводит нас к далеко идущим
аналогиям между поведением весьма различных систем при макроскопических
изменениях.
1.14. Качественные изменения: типичные явления
Дадим краткий обзор качественных изменений, вызываемых неустойчивостями.
Существуют обширные классы систем, подпадающих под рассматриваемые ниже
категории. Для того чтобы мы могли окинуть общим взглядом достаточно
широкий круг систем, пренебрежем сначала влиянием шума. Начнем с
уравнений вида (1.11.13)
q = N (q, а, V, х, t). И.14.1)
Предположим, что N не зависит явно от времени, т. е. что (1.14.1) -
автономная система. Пренебрегая зависимостью от пространственных
координат, рассмотрим уравнения вида
q(0 = N (q(/), а).
(1.14.2)
Введение
63
Пусть по предположению при некотором значении параметра управления а (или
при а, изменяющемся в некотором диапазоне значений) существует устойчивое
решение q0 (a, t) уравнений (1.14.2). Чтобы исследовать его устойчивость
относительно изменений а, положим
q = q0+w (t), (1.14.3)
где w (t) - по предположению малое возмущение., Подставляя
(1.14.3) в (1.14.2) и удерживая только члены, линейные по w, приходим к
уравнениям вида
w = Lw, (1.14.4)
где L зависит от q0. В разд. 1.14.6 будет показано в явном виде, как
оператор L связан с N. Пока же достаточно знать, что L зависит от времени
так же, как q0.
Предположим, что q" не зависит от времени. Чтобы решить уравнения
(1.14.4), положим
w (t) - eu\, v-постоянный вектор, (1.14.5)
и, подставив (1.14.5) в (1.14.4), преобразуем наши уравнения к виду
Lv = Av. (1.14.6)
Это - линейное алгебраическое уравнение для постоянного вектора v и
собственного значения А.
Наиболее существенные особенности общего подхода станут более понятными,
если ввести упрощающее предположение о том, что L - матрица конечного
порядка п. В этом случае существует не более п различных собственных
значений А/, вообще говоря, зависящих от управляющего параметра а.
Неустойчивость наступает, если вещественная часть по крайней мере одного
собственного значения становится неотрицательной.
1.14.1. Бифуркация из одного узла (или фокуса) в два узла (или фокуса)
Рассмотрим случай, когда Re {А,/} > 0 лишь при одном /, например при / =
1, а при всех остальных j справедливо неравенств(r) Re {А;}<0. На этом
примере отчетливо видны существенные особенности нашего подхода. В общем
виде он излагается ниже. Поскольку наша конечная цель состоит в решении
полного нелинейного уравнения (1.14.2), необходимо ввести подходящее
предположение относительно его решения q (t). Представим q (t) в виде
q(0 = Qo + Z?/(0 V/, (1.14.7)
где V/ - решения уравнения (1.14.6), а - пока не известные коэффициенты,
зависящие от времени. Подставляя (1.14.7) в (1.14.2), мы после
преобразований (приводить которые здесь было бы не-
64
Глава 1
уместно, см. гл. 8) получаем уравнения для Е/. Рассмотрим, например,
случай / = 1,2. Соответствующие уравнения имеют вид
= + У, (Ы4.8)
U = Kl2 + N2(llth)- (1-14-9)
Здесь и Х2 - собственные значения уравнения (1.14.6), Nj - нелинейные
