Синергетика: иерархии неустойчивостей в самоорганизующихся системах и устройствах - Хакен Г.
Скачать (прямая ссылка):
например, рассматривать qlt q2, . . . , qn как координаты точки в п-
мерном пространстве и каждому значению tx, t2, . . . сопоставлять
соответствующую точку (q1 (t), ц2 ((), . . . , qn (t)) (рис. 1.12.2).
Прослеживая непрерывную последовательность точек от t -" оо к t + оо, мы
по-
Введение
47
Рис. 1.12.1. Временная эволюция переменных q1 и q2. Значения переменных
q1 и q2 в начальный момент времени t заданы. Их зависимость от времени
при t>t0 показана сплошными кривыми. При других начальных данных
зависимость q1 и q2 от времени описывается другими кривыми (например,
штриховыми). Если в системе много переменных, то аналогичные кривые
необходимо построить для каждой из них.
строить зависимости переменных от времени, как на рис. 1.12.1, можно
строить траектории на плоскости qxq2, сопоставляя каждому значению tj
точку с координатами q1 (tj), q2 (tj). Если система в начальный момент
времени t0 находится в различных точках, то ее траектории также различны.
В случае п переменных траектории приходится строить в га-мерном
пространстве.
эти траектории напоминают называют "линиями тока", а
I +оо
Рис. 1.12.3. В общем случае, когда желательно проследить за всей
траекторией, приходится рассматривать и / оо И t -*¦ -
ОО.
лучаем траекторию (рис. 1.12.3). Выбрав другую начальную точку, мы
окажемся, вообще говоря, на другой траектории (рис. 1.12.1 - 1.12.3).
Вычерчивая соседние траектории, мы получим целый пучок траекторий
(1.12.4). Так как линии тока в жидкости, их иногда
их совокупность - "потоком". Хорошо известно (см., например, [1 ]), что
траектории отнюдь не всегда идут (в одном направлении) от q = - оо до g -
+ оо, а могут по-разному заканчиваться при конечных q. Например,
48
Глава 1
в двумерном случае траектории могут заканчиваться в узле (рис. 1.12.5)
или в фокусе (рис. 1.12.6). Поскольку линии тока как бы притягиваются
своими конечными точками, сами конечные
Рис. 1.12.4. Пример семейства траекторий.
Чг
4i
h qz
-------------------------------*- q,
Рис. 1.12.5. Траектории, заканчивающиеся в (устойчивом) узле. Если
обратить время, то траектории будут выходить из узла, который станет
неустойчивым.
Ч,Ю
Рис. 1.12.6. Траектории, заканчи- Рис. 1.12.7. Временная зависимость
вающиеся в (устойчивом) фокусе. переменной q1 (t) в случае узла. Дви-
Если обратить время, то траекто- жение монотонно затухающее, рии будут
выходить из фокуса, который станет неустойчивым.
точки называются аттракторами. В случае узла временное поведение q
описывается графиком такого типа, как на рис. 1.12.7, в случае фокуса -
графиком такого типа, как на рис. 1.12.8. На плоскости траектории помимо
узлов, фокусов и седел могут заканчиваться, только навиваясь на
предельный цикл (рис. 1.12.9). В случае, показанном на рис. 1.12.9,
предельный цикл устойчи-
Введение
49
вый, так как притягивает к себе соседние траектории. Он также принадлежит
к числу "аттракторов". Временная эволюция q1 при движении по предельному
циклу представлена на рис. 1.12.10.
Рис. 1.12.8. Временная зависимость переменной q1 (t) в случае фокуса.
Движение колебательное и затухающее.
Рис. 1.12.9. Устойчивый предельный цикл на плоскости. Траектории
приближаются к предельному циклу снаружи и изнутри.
Это - незатухающие колебания. При числе размерностей больше двух могут
возникнуть аттракторы других типов. К важному классу относятся
аттракторы, лежащие на многообразиях или образующие
Рис. 1.12.10. Временная зависимость переменной, например q2 (t), в случае
предельного цикла.
многообразия. Поясним понятие многообразия несколько подробнее. Простым
примером многообразия может служить предельный цикл, по которому
происходит движение на рис. 1.12.9. Каждая точка многообразия может быть
отображена в некоторую точку
50
Глава 1
отрезка, и наоборот (рис. 1.12.11). Все многообразие может быть разбито
на сегменты, допускающие отображение на перекрывающиеся интервалы на
прямой, и наоборот (рис. 1.12.12). Каждый сегмент на окружности
соответствует определенному интервалу на прямой. Выбрав за полный
интервал от 0 до 2л, мы можем сопоставить каждой точке на окружности
точку на отрезке оси ф от 0 до 2л. Так как между точками на предельном
цикле и на интервале от 0 до 2л существует взаимно однозначное
соответствие, мы можем ввести координату ф (систему координат) на самом
пре-
Рис. 1.12.11. Взаимнооднозначное отображение отдельных точек предельного
цикла на точки прямой.
Рис. 1.12.12. Взаимно однозначное отображение перекрывающихся отрезков
предельного цикла на перекрывающиеся отрезки прямой.
дельном цикле. Это система координат не зависит от системы координат на
плоскости, в которую погружен предельный цикл.
Предельный цикл представляет собой дифференцируемое многообразие,
поскольку когда мы используем, например, время как
•
параметр, то при этом предполагаем, что существует q, или, если говорить
геометрическим языком, что касательная существует в каждой точке
предельного цикла.
