Синергетика: иерархии неустойчивостей в самоорганизующихся системах и устройствах - Хакен Г.
Скачать (прямая ссылка):
отлично от нуля, и возникает пространственно неоднородное распределение
(1.16.5). Такой подход позволяет прослеживать рост пространственной
структуры. Если имеется несколько параметров порядка и, Ф 0, то "скелет"
определяется выражением
q (х, /) +const+ Z"/V/(x). (1.16.7)
Но в отличие от линейных теорий параметры uj не могут быть выбраны
произвольно. Они удовлетворяют некоторым нелинейным уравнениям (мы
выведем эти уравнения в дальнейшем). Тем самым эти нелинейные уравнения
задают возможные скелеты и определяют их рост. В более высоких
приближениях в формирование пространственных структур вносят вклад и
подчиненные моды. Подчеркнем важное различие между описываемыми
переходами и фазовыми переходами систем, находящихся в состоянии
теплового равновесия, где достигается дальний порядок. За редкими
исключениями существующая ныне теория фазовых переходов рассматривает
бесконечно протяженные среды, поскольку только в них становятся заметными
сингулярности некоторых термодинамических функций (энтропии, удельной
теплоемкости и т. д.). С другой
Введение
77
стороны, в неравновесных фазовых переходах (а мы рассматриваем здесь
именно такие переходы) решающую роль играет в общем случае конечность
геометрии: возникающая структура зависит от формы границ (будет ли
граница иметь форму квадрата, прямоугольника, окружности и т. д.). Кроме
того, структуры зависят от размеров системы. Иначе говоря, возникающие
структуры несут с собой свои собственные масштабы длины, которые должны
соответствовать заданной геометрии.
В астрофизических и биологических приложениях нам приходится прослеживать
эволюцию структур не только на плоскости или в евклидовом пространстве,
но и на сферах и еще более сложных многообразиях. Примерами могут служить
начальные стадии развития эмбрионов или образование структур в атмосферах
планет, например Юпитера. Разумеется, в менее реалистических ("более
модельных") ситуациях мы можем рассматривать и бесконечно протяженные
среды. При этом мы обнаружим явления, хорошо известные из теории фазовых
переходов, и можем применить к ним метод ренормгруппы.
В активных средах, таких, как распределенные химические реакции,
взаимодействующие клетки ткани, нейронные сети и т. д., могут возникать
смешанные пространственно-временные структуры. Методы, с которыми мы
познакомимся в дальнейшем, позволяют математически описывать широкие
классы таких явлений.
1.17. Дискретные отображения. Отображение Пуанкаре
В предыдущих разделах мы кратко рассмотрели методы, позволяющие
моделировать многие процессы с помощью эволюционных уравнений вида
q(/) = N(q(/)). (1-17.1)
Временная эволюция системы, описываемой вектором q (/), известна, если мы
знаем q при любых /. Но, поскольку время непрерывно, нам необходимо для
этого располагать бесконечным континуумом данных! Сбор столь обильной
информации для человека задача заведомо непосильная. Из создавшегося
затруднения существует несколько выходов. Можно искать стационарные
состояния, в которых вектор q не зависит от времени и может быть
представлен конечным числом данных. Можно представить (точно или
приближенно) вектор q в аналитически замкнутом виде, например q = q0 sin
(со/).
Важно не столько то, что мы можем вычислить sin (со/) при любом / со
сколь угодно высокой точностью (по крайней мере в принципе),-
аналитически замкнутое представление вектора позволяет наглядно
представить характер эволюции системы (sin (со/) соот-
78
Глава 1
ветствует периодическим колебаниям, exp (kt) - монотонному росту или
убыванию (в зависимости от знака ^)).
Но существует и другой способ обойти проблему, требующую "бесконечной"
информации: вектор q можно рассматривать, как в цифровых вычислительных
машинах, лишь в моменты времени образующие дискретную последовательность.
Дифференциальное уравнение (1.17.1) перейдет при этом в соответствующую
систему разностных уравнений. Еще более сильное упрощение достигается
кает ось в точках хг, х2, от хп на рис. 1.17.1,
х3 продолженная до непрерыв-
ной функции.
с помощью отображения Пуанкаре. В качестве примера рассмотрим траекторию
на плоскости (рис. 1.17.1). Вместо того чтобы все время следить за
траекторией, будем отмечать лишь точки ее пересечения с осью <7Х.
Обозначим их ql (п) = хп. Поскольку точка (q± = хп, q2 = 0) при любом
заданном п может служить начальным значением для полутраектории,
пересекающейся с осью qx в точке хп+1, мы заключаем, что xn+i однозначно
определяется выбором хп, т. е.
xn+1 = f(xn). (1.17.2)
Чтобы найти эту зависимость, уравнение (1.17.1) необходимо
проинтегрировать по интервалу времени от tn (когда траектория проходит
через точку хп) до tn+1 (когда траектория проходит через точку хп+1).
Никакого упрощения при этом не достигается. Более плодотворной
оказывается следующая идея. Рассмотрим как модель уравнение (1.17.2) при
заданной функции f и всех п. Поскольку необходимость в интегрировании
уравнения (1.17.1) отпадает, можно надеяться на то, что нам удастся
