Синергетика: иерархии неустойчивостей в самоорганизующихся системах и устройствах - Хакен Г.
Скачать (прямая ссылка):
не ограничивая общности, полагаем s = /С = 1, г< 1, q > с0 > 1.
В дальнейшем мы будем строить преобразование Ш как бесконечное
произведение преобразований
Ш = lim (<U0 о Ш1 о . . . o<Mv), (П.3.13)
V->оо
где каждое преобразование аЫл, уточняет предыдущее приближение. Обозначим
символически исходное семейство дифференциальных уравнений через SF =
?Г0, систему, в которую SF0 переходит под действием преобразования
координат °U3, через и т. д. Следовательно, SFV под действием
преобразования переходит в
^"v+1, а ЗГ0 под действием преобразования . . . оq/v -
в &~v+1.
Для дальнейшего важно точно описать область определения
преобразования и дифференциальных уравнений. В частности, подчеркнем, что
преобразование °UV включает в себя замену параметров а, Ь, В, а также
преобразование переменных ф, Чтобы убедиться в этом, отбросим у
преобразования индекс v и запишем в следующем виде:
Ф = ф + и(ф, х, ", Р, В),
5 = X + v (Ч>, X, ", Р, В),
°KV: a = a + w1(oc, р, В), (П.3.14)
6 = P + w2(a, р, В),
B = B+w3(а, р, В).
Доказательство теоремы Мозера
371
Переменные <р, %. ос, р, Ъ удовлетворяют неравенствам I Im (ф) | < rv+1,
| x KVn,
i?L-.?.l -|---1-[ В-Л |<<7v+i, (П.3.15)
rv+i Sv+i
где последовательности rv, sv, qv выбраны так, что Uv отображает SDv+l в
0v:|lm{i|>} |<rv|S|<sv, + + [ B-A |"yv
T\ S\>
(П.3.16)
и семейство дифференциальных уравнений &rv отображается в семейство
#"v+i. аппроксимирующее систему уравнений (П.3.9) более точно, чем 9Г^.
Отброрим индекс v и запишем ?TV в виде системы дифференциальных уравнений
(П.3.2), а ^"v+i - в виДе системы
Ф = сс+Ф, ]
в 3>v+1 (П.3.17)
X = p + Bx+S J
(векторы Ф и S должны быть малыми).
Для того чтобы получиьт оценки, которые мы докажем по индукции, введем
последовательности rv, sv, 8V, qv следующим образом:
rv=-y-( 1 + 2-Д 0<ro< 1,
6v = cv6^b
-v2 2c
Sv С Ov,
<7v+i = Tv6v при v = 0, 1,2, . . .; q0 = q>c0>\,
(П.3.18)
где постоянная с > 1 пока 'неизвестна. Заметим, что 6V быстро
стремится к нулю, если б0< с-6< 1, и, аналогично, sv, qv стре-
мятся к нулю, если rv -> rj2.
Предположим, что .9",. удовлетворяет условию
-iIL + ili<r°6v = <7v+i В 3>v (П.3.19)
Г\ S\?
и построим °UV так, чтобы оно отображало ^v+i в и чтобы для
преобразованной системы ?Tv+i выполнялась соответствующая оценка невязки:
-!L5-L_i-1 ц '-<;/'v+i8v-n = ?v+2 в ^v+i- (П.3.20)
Tv+l (r)v+l ,,
372
Приложение
Для отображения °UV (см. (П.З. 14)) справедливы оценки
Г\'
! wx|
Sv
-<й+16V,
+
W2 |
Sv
+ 1 Wg [<C4?V+1
в SD.
v+l.
(П.3.21)
тстоянная.
I.3.2f)), (П.3.21) до-
где c4> 1 - надлежащим образом выбранная
г) Если утверждение (П.З. 14) и оценки (Г казаны, то теорема П.3.1
следует из них, в чем мы фйчас убедимся. Так как °UV отображает 2)v+1 в
?Z3V, композиция отображений %lv-- °Uo ° Ui° ¦ . .о °UV переводит <?>v+1
в 3)0, и в справедлива оценка
-<Сс4 (бо + с4б4+ • • • + c46v)с2с460. (П.3.22)
г0 s0
Отсюда следует, что °UV сходится в области
Д)оо: I Im {if} | <"•> Х = 0, а = р = |0, В = 0 (П.3.23)
равномерно и преобразование аналитично в &оо. Кроме того, из неравенства
(П.3.22) при % = 0 и подходящим образом выбранной постоянной с>2с4
следует неравенство (П.З. 12). Так как и не зависит от %, a v зависит от
% линейно, остается оценить производную dv/d%. Член 1 + dv/d% есть
произведение соответствующих членов 1 + d\v/d% и, поскольку | dvj&x
|Сс4б4, приводит к оценке
dv
дХ
;S= Ц (1 с4^ц) 1 ;S= 2с4б0.
ц=0
(П. 3.24)
Тем самым неравенство (П.З. 12) доказано при надлежаще выбранной
постоянной с.
Преобразованная система &г<х обладает тем свойством, что Фоо, Зоо,
dSoo/cfy обращаются в нуль (при 7 - 0) в Этоутвержде. ние следует из
оценки (П.3.20) того, что qv+2 -> 0, а также того, что производную дВ/д%
при 7 - 0 можно мажорировать вели, чиной sup | S |s7+i, которая также
стремится к нулю при v -*¦ оо. Итак, в ST,*, справедливы оценки
Фоо ==0(7), Зоо = 0(72), (П.3.25)
что и требовалось доказать.
Наконец, а, Ь, В мы получим как образы трех последних компонент в (П.З.
14) под действием преобразования °их. Так как °UV переводит S)v+1 в S5V,
области
О0о(/4о . . . o(/v2)v+1=^v> (П.3.26)
Доказательство теоремы Мозера
373
образуют последовательность областей, вложенных в SDn\
В частности, множества значений трех последних компонент а, р, В в
(П.3.14) стремятся к нулю, как следует из (П.3.15) и того" что qv+1 0.
Отсюда в свою очередь мы заключаем, что соответствующие а, Ь, В 6 <Ю0
стягиваются при v оо в точку а, Ь, В 60о. Это утверждение следует
непосредственно из (П.3.21) и сходимости
если величина 60 выбрана достаточно малой для того, чтобы неравенство
(П.3.11) выполнялось при с>2с4. Как нетрудно проверить, условия, при
которых выполняется оценка (П.3.20), следуют из условий теоремы при v =
0.
д) Итак, доказательство теоремы П.3.1 сводится к построению
отображения °U = °UV и доказательству оценок (П.3.20), (П.3.21). Выполним
то и другое.
Для того усечем f и g, оставив их линейные части:
и разложим (f0, g0) на компоненты, лежащие в jf и Я (как вприло* жении
