Основы гамильтоновой механики - Хаар Д.Т.
Скачать (прямая ссылка):
а из первого уравнения (6.207) и (6.210) мы видим, что J представляет
собой увеличение 5 за период. Мы замечаем также, что У -это в точности
интеграл действия, взятый за один период. Поскольку размерность J
совпадает с размерностью момента импульса, размерность w совпадает
S' = J$/yr,
из которой следует (6.203) и равенство
J = аут.
(6.205)
(6.204)
либрация:
вращение:
q (w+ 1 ) = q(w), q (w + 1) = q (id) + 2 л.
(6.206 a) (6.206 6)
(6.207)
Из этих уравнений вытекает:
(6.208)
(6.210)
167
с размерностью угла; отсюда можно понять, почему J и w называются
переменными "действие - угол".
Гамильтониан оказывается теперь функцией только J, т. е. E = E(J), и из
канонических уравнений движения можно получить:
J - const и rf) = -|^- = v, (6.211)
пли
w = v(t - /"). (6.212)
Учитывая, что w за период увеличивается на единицу, мы имеем:
Aoj=1=vt, или v=1/t, (6.213)
так что v = dE/dJ является частотой движения. Отсюда ясно, что можно
получить частоту (или период) движения, как только мы нашли гамильтониан
как функцию переменной действия J, даже не решая уравнений движения [ср.
(5.409)].
Мы могли бы ввести J согласно (6.210) без того, чтобы предварительно
обсуждать уравнения (6.202), и могли бы таким способом фактически
доказать, что величина w изменяется за период на единицу. Именно такой
подход мы используем, переходя к системам с многими степенями свободы.
Единственные системы, которыми мы станем заниматься,- это системы,
обладающие многократной периодичностью, другими словами - периодичные
относительно каждой своей координаты qt и для которых уравнение
Гамильтона - Якоби может быть решено разделением переменных, так что
S (q, a)='?Si(qi\ ак). (6.214)
t
Новые переменные (действия) вводятся согласно уравнениям
Ji=*§Pidqi, (6.215)
где каждый из интегралов распространяется по периоду соответствующей дг;
эти периоды, конечно, вовсе не должны быть одинаковыми. Заметим, что все
Jt имеют размерность момента импульса или действия. Отметим также, что в
том случае, когда qt- циклическая координата, так что соответствующий
параметр pt будет константой [см. (2.402)], из (6.215) немедленно
следует, что J,^2npt.
1Ы
Интегрирование в (6.215) ведется по qt\ но координата qt - единственная
из всех координат qk, которая входит в интеграл правой части (6.215),
поскольку уравнение Гамильтона - Якоби допускает разделение переменных.
Поэтому Jt будут функциями только а* и не будут содержать р*. Это
означает, что преобразование от pk и qk к Ji и wi будет преобразованием
Гамильтона -Якоби, приводящим к преобразованному гамильтониану П, который
будет функцией только Jt. Допустим, что это преобразование Гамильтона -
Якоби порождается функцией Гамильтона-Якоби S. Из того, что исходное
уравнение Гамильтона-Якоби допускало разделение переменных, и из того,
что Ji зависят лишь от ак, следует, что S можно записать в виде!
S(q, J) = ^S,(qt; Jk)\ (6,216)
i
затем, используя первое из уравнений преобразования,
dS dSi dS п1_ч
Pi~dqi~ dqt ' Wi~Wt' (6.217)
мы видим из (6.215), что Jt равны просто возрастанию St за период.
Из канонических уравнений движения мы получим: дЯ
= .....Js), или wt = V,-1 + б;. (6.218)
Докажем сейчас, что vt действительно являются частотами движения. Пусть
координата qj проходит свой период, тогда как все остальные координаты q
остаются неизменными. Тогда мы получаем для приращения wt (индекс / при А
и б указывает на то, что меняется только qj):
AJw'-§8jW' = §^dqj = §g?§Tidqj =
=?~l§Pjd<ij=wr=8u- (6'219)
Следовательно, если через тt обозначен период, соответствующий координате
qit мы с помощью (6.218) и (6.219) получим:
Д tWi = VjT; = 1, (6.220)
что и доказывает наше утверждение.
169
В заключение этого параграфа мы рассмотрим два примера: одномерный
гармонический осциллятор и задачу Кеплера. Из (6.118), (6.121) и (6.210)
мы имеем:
J = § [2 та - maq2]112 dq ¦-
2л
= 2а (m/a)1'2 ^ cos2 в dQ =2ла (гп/а)1'2, (6.221)
о
где мы воспользовались подстановкой q - (2a/a)^2 sin 0. Из (6.221) и
(6.115) вытекает, что
Е = а = (Л2п)(а/т)1'2, (6.222)
и из (6,211) - что
v = <Э E/dJ = (2л)'1 (й/т)1'2. (6,223)
Мы и в самом деле нашли частоту движения, не прибегая к решению уравнений
движения.
В задаче Кеплера мы можем показать, что Jx, J2 и J3 являются линейными
комбинациями аг, сс, и а3. Мы получим из (6.215), учитывая (6.139),
(6.142) и (6.141):
J3 = § р,< diР = § а^ с/ф = 2яа3, (6.224)
\ sin 6 /
'" dO ¦= 2л (а., - а,), (6.225)
= - 2ла, + (tm) = 2л (Kj - ос,). (6.226)
Из выражения (6.226) следует, что энергию Е можно выразить через величины
Jiy J2 и J3 следующим образом:
Е - . (6.227)
Мы видим, что в этом случае \\ = v2 = v3. Ничего удивительного в этом
нет, поскольку мы имеем дело с замкнутыми орбитами.
Из (6.226) можно усмотреть также одно из преимуществ использования ах
вместо а\. Все преимущества использования станут очевидными в следующем
параграфе; здесь же мы обратим внимание только на то, что именно эти
