Феноменологическая термодинамика необратимых процессов (физические основы) - Гуров К.П.
Скачать (прямая ссылка):
рассматриваемом физическом элементарном объеме за счет наличия в
последнем "источников" или "стоков" для свойства (а.-¦ плотность
источника или стока). Если член о равен нулю, то уравнение выражает закон
сохранения.
Напомним, что физически наглядно закон сохранения свойства G выражается в
интегральной форме, из которой дифференциальная легко получается при
помощи теоремы Гаусса - Остроградского.
"Количество свойства" Q в объеме V равно
Q = j G dr. v
Это количество может изменяться во времени только за счет "приноса" или
"уноса" свойства через границы объема V (при условии отсутствия
источников и стоков для свойства), так что
!-=-]v*.
S
где п - единичный вектор по внешней нормали к поверхности S объема V. По
теореме Гаусса - Остроградского и с учетом данного выше выражения для Q
имеем
AJOdr-JdivJadr.
V V
20
Поскольку величину объема V можно выбрать произвольно, то отсюда следует
дифференциальная форме закона сохранения:
- = - div JG. (3.2)
dt
Рассмотрим типичные уравнения.
Пусть имеется многокомпонентная система. Индексом i будем обозначать
номер компонента (i=l, 2, ... ..., п), а через р,•(?, г)-массовую
плотность компонента i. Тогда
- = - div J, + (3.3)
dt
Здесь ii{t, г) -плотность потока компонента i; можно также ввести среднюю
скорость ui(t, г) для компонента i по формуле
J; = Р,- ис. (3.4)
Плотность "источника" Ог отражает возможность химических реакций -
перехода одного компонента в другой, но при этом общая масса вещества
неизменна, т. е.
2^ = 0.
t=i
Поэтому, обозначая
р = У, Рь (3.5)
J = SJ'> (3.6
i-1
получим
^? = - divJ. (3.7
dt v
Последнее уравнение выражает закон сохранения массы в локальной области
неравновесной системы. Это уравнение называется также гидродинамическим
уравнением непрерывности.
21
Можно также написать
J = Pu0 (3.8)
и
| = _div(Pu0). (3.9)
Из соотношений (3.9), (3.6), (3.7) и (3.4) тогда получаем
Spi-i
= ----- , (3.10)
Р
ИЛИ
п
к0=2с;иь С3-11)
где Cj=p,7p - массовая концентрация. Таким образом, и0 есть средняя
массовая скорость.
Удобно плотность потока Jj разбить на две части:
^=Р((и4-и0)+р(и0. (3.12)
Второе слагаемое есть вклад компонента i в движение вещества как целого в
рассматриваемом физическом элементарном объеме (конвективный поток).
Первое же слагаемое есть диффузионный поток, непосредственно связанный
именно с процессом переноса, отличительной чертой которого является
существенное участие в процессе теплового движения частиц, образующих
рассматриваемое вещество. Так, по определению, процессом диффузии
является в принципе наблюдаемое перераспределение вещества в пространстве
и во времени в результате теплового движения атомов или молекул,
составляющих рассматриваемое вещество. Поэтому из общего
гидродинамического уравнения непрерывности выделяется определенный класс
с особым свойством J/. По самой своей физической сущности J/ нельзя
"обратить" и, в отличие от общего случая гидродинамического уравнения,
соответствующее движение переноса оказывается необратимым во времени (для
обратимости требуется изменение знака направления шкалы времени при
одновременном изме-
22
нении направления всех потоков, или скоростей, а также направления
действующих на систему внешних сил).
К уравнению сохранения массы непосредственно примыкает (и не требует
специального вывода) уравнение сохранения заряда Z (Z=Ne\ Zi = Niei\ Z =
П
= Zit причем все е* постоянны и не зависят от г и
t=i
п
t\ Ni-число частиц сорта i, N= ^ N{).
1=1
Вторым законом сохранения является уравнение для полной энергии W(t, г)
физического элементарного объема. Плотность полной энергии рw (w - полная
энергия на единицу массы) складывается из трех частей: плотности
кинетической энергии движения вещества как целого р"?/2, плотности
потенциальной энергии рг|э в физическом элементарном объеме в поле
внешних (по отношению к рассматриваемому элементарному объему) сил и из
плотности внутренней энергии е, состоящей из кинетической энергии
теплового движения частиц и потенциальной энергии их взаимодействия
(вообще говоря, могут быть еще и другие составляющие, в зависимости от
уточнения структуры вещества). Таким образом,
Рьу = -^2- + р-ф -4- ре. (3.13)
Уравнение для каждой составляющей в принципе имеет вид (3.1), т. е. может
содержать плотность источника. Но сумма трех плотностей источников равна
нулю и для полной энергии имеем закон сохранения
^- = -divJr. (3.14)
dt v '
В соответствии с первым законом термодинамики, изменение полной энергии в
локальном объеме однокомпонентной системы может произойти за счет
конвективного приноса (или уноса) полной энергии потоком, плотность
которого, очевидно, равна
J^m=Pa> u0, (3.15)
гз
а также за счет приноса (или уноса) потока энергии •1Л, образованного
механической работой, и потока тепла J9.
В рамках феноменологической теории соотношения риа
рда = + рг|> + Ре (3.16)
и
iw = iTB+3A + J4 (3.17)
могут формально рассматриваться как определения величин е и J,.
