Феноменологическая термодинамика необратимых процессов (физические основы) - Гуров К.П.
Скачать (прямая ссылка):
энергии, постоянства Т на границе и термодинамических соотношений; ниже п
- единичный вектор по внешней нормали к поверхности)
V
что и требовалось доказать.
Общую характеристику вариационных принципов закончим двумя замечаниями.
Во-первых, при решении вариационных задач не обязательно задавать
постоянные интенсивные параметры на границе; вместо этого могут быть
заданы постоянные потоки через границу. Во-вторых, указанные вариационные
принципы применяют и в локальной форме. Особый интерес это представляет,
когда заданы условия не на границе, а по объему (условия "принуждения").
Тогда локальный принцип выписывают и дополняют "локальным условием
принуждения", а вариационную задачу решают методом неопределенных
множителей Лагранжа (подробнее см. [8]).
Ill
Следует еще добавить, что из уравнения
Р - div Js + crs
ot
вытекает, что в стационарном состоянии (при ds/dt=0) производство
энтропии все время сбалансировано "оттоком" энтропии за счет процессов
переноса.
Перейдем теперь к обобщениям вариационных принципов, учитывающих
нелинейные эффекты и конвективные переносы.
Прежде всего заметим, что в приведенном выше примере имеется еще одно
существенное обстоятельство. Мы считали, что Ьяя есть постоянная
величина. Фактически же, как было показано в § 9, Lqq=%T2, где К -
коэффициент теплопроводности. Эмпирически его считают постоянным в
широком интервале температур. Поэтому в соотношении связи Lqq и X
молчаливо принимают, что температура Т имеет некоторое фиксированное
значение. При малых перепадах температуры на границе это оправдано и за
фиксированное значение следует принять значение Т0 для указанного в
начале параграфа мыслимого равновесного состояния. Таким образом,
функционал Ф" по существу является функцией параметра Т0 и варьируемой
температуры Т. Тогда можно рассматривать отклонение Q(T, Т0) от ?2 (Т0,
Т0), т. е. анализировать величину
AQ = Q (Т, T0) - Q(T0, Т0) = 2 j<Mr- 2 |фо^г.
V V
В рассматриваемом случае отклонения от равновесного состояния такая
запись, конечно, чисто формальная, так как Q(T0, Т0)= 0 (в равновесной
системе нет производства энтропии), но помогает лучше уяснить проблему и
подводит к пониманию роли избыточного производства энтропии при анализе
проблемы с учетом нелинейных эффектов. На таком анализе построена
предлагаемая Гленсдорфом и Пригожиным [10] схема обобщения вариационных
принципов.
Из физического смысла й (Q>0, за исключением случая равновесия, когда й =
0) очевидно, что
ДЙ>0. (11.19)
112
Это просто означает, что производство энтропии тем больше, чем больше
отклонение системы от равновесия.
Напомним, что здесь все рассуждения пока что проводятся в рамках линейной
термодинамики. Возникает вопрос: что будет, если стационарное состояние
существует, но соответствует большому перепаду интенсивного параметра в
пределах рассматриваемой системы, когда не имеет смысла вводить некоторое
мыслимое равновесное состояние с фиксированным значением (скажем) Т0 и,
значит, описание процесса достижения стационарного состояния, а также
процесса в стационарном состоянии нельзя выполнить в рамках линейной
термодинамики с постоянными и необходимо учитывать нелинейные процессы?
Формально учет нелинейности можно провести, если в разложениях Хи J, по
отклонениям параметров системы от их равновесных значений не
ограничиваться только линейными членами, а сохранить ряд членов более
высокой степени. Однако тогда в теории, кроме коэффициентов L{}, будут
фигурировать Lijh, Lm и т. д., свойства которых неизвестны, и конкретное
решение вариационных задач практически не представляется возможным (см.
[25]).
При рассмотрении нелинейных эффектов в различных областях физических
явлений в теории широко практикуется формальная запись уравнений в том же
виде, как и для линейных эффектов, но не с постоянными коэффициентами, а
такими, что нелинейность как раз и проявляется через эти коэффициенты. В
термодинамике необратимых процессов тоже допустим такой подход:
нелинейность связывают с зависимостью L,s от отклонения от равновесия. Но
тогда применение вариационных принципов по схеме, описанной выше,
требует, конечно, пересмотра. В [10] намечена следующая модификация
вариационных методов.
Пусть на границе заданы постоянные условия для интенсивных параметров
(скажем, для Т), так что заведомо существует стационарное состояние (при
чисто диссипативном процессе), даже если в стационарном процессе имеются
нелинейные эффекты. В принципе должно существовать решение для
стационарного состояния, т. е. в этом случае существует однозначное
ИЗ
распределение температуры в объеме системы; обозначим это решение через
Т'о(г). Для чисто диссипативных процессов формально по-прежнему можно
ввести функционал
Ф(ад) = 13М7)вд.
"=1
Если считать, что отклонения Т от Т0 не очень велики, то можно
рассматривать локальный потенциал (локальный по отношению к функции Т"
(г))
№Г0)== |[ф(7\Г0)<1г,
где считается, что являются функциями от Т, которые варьируются при
