Нелинейная акустика в задачах - Гурбатов С.Н.
ISBN 5-211-02328-5
Скачать (прямая ссылка):
становится неоднозначным при сколь угодно малых X (пунктирная кривая на
рис. 6,а). Эта неоднозначность устраняется по правилу "равенства
площадей"
2.II. В результате получаем скачок такой же формы и величины, но с
фронтом, несколько смещенным вперед. Это значит, что волна сжатия
устойчива. Смещение фронта в сопровождающей системе координат -
'ЭС/Со свидетельствует о том, что положи-
тельный (относительно не возмущенного уровня U^ssO ) скачок иг движется
со сверхзвуковой скоростью + 6U2/2 -
тем быстрее, чем больше перепад Uj> в ударной волне.
Интересно, что ударная волна разрежения (Ua<Ui) неустойчива - при
распространении ширина ее фронта растет (рис. 6,6) Чтобы в этом
убедиться, достаточно воспользоваться графическим методом 1.10. Правила
"равенства площадей" здесь не требуется
Рис.6
2.13. Используя правило равенства площадей, определить положение и
амплитуду разрыва UD(x) синусоидального исходного
30 г
возмущения Ц,(х=0,i) = <$( t ) =u"-sm,tot . Найти расстояние , при
котором величина Ц^(х) максимальна и установить асимптотический закон её
изменения при больших х .
Ответ. В бегущей системе координат (^ - х/с0) разрыв на каждом из
периодов занимает фиксированное положение при (лУ? = 23ГТи ( а
его амплитуда опре-
деляется как ненулевой корень уравнения
где Ъ = х/Хр = С 6. /сф-СОи0Х . Максимальное значение J достигается при X
=Х* = 53Г/2. Асимптотичес-
кий закон убывания Up/Uft- ЗГ/(1 +Х) хорошо выполняется при Х>2.
Интересно, что при X^i Up^C^/gCOX*1 не зависит от амплитуды входного
сигнала. Решение задачи изложено в [5, б*].
2.14. Пользуясь результатами решения предыдущей задачи, найти форму
профиля, синусоидального на входе, на расстояниях X = х/Хр> 2 . Вычислить
спектральный состав и среднюю за период плотность энергии E-8.tte-
57,'ira*(a,'c>dt.
Отвез:. Волна приобретает пилообразный профиль
? = tot+ЗГ(I)
Её спектр оо
U V" . Ып. ПШТ
u. Z-, ".cwc ¦ <2>
rv=l
Из-за образования разрывов и их нелинейного затухания (тем более
сильного, чем больше Ц0) амплитуды гармоник уменьшаются по степенному
закону, причём К.-4, . Плотность энергии
уменьшается как ? =3C*§0Uj/3(i+,?f и прит*! не зависит от амплитуды U0
исходного возмущения.
2.15. Используя графические построения I.IO и 2.II, проследить за
эволюцией прямоугольного на входе импульса $(t)= =Д при -TVt<0 и =
0 вне этого интервала. Найти
асимптотическую форму импульса при ЭС"""оо.
Ответ. Начальная форма импульса и его форма на трёх характерных
расстояниях показаны на рис.7. При x*(?/Oq)* aA"l импульс приобретает
универсальную треугольную форму с наклоном, не зависящим от А и Т :
31
льса. Нетрудно проверить, что при любых х площадь импульса равна А*Т ,
что отвечает сохранению количества движения.
2.16. Проанализировать графически процесс нелинейной трансформации
профиля двуполярного звукового импульса, состоящего из двух симметричных
треугольных импульсов (см. I.II) длительностью 2Т0 и площадью S в
случаях: а) за фа(зой разрежения следует фаза сжатия; б) за фазой сжатия
следует -фаза разрежения.
Ответ. Как показано на рис.8, в случае а) импульс трансформируется в так
называемую S- волну неизменной длительности 2!Т0 ; в случае б) импульс-
превращается в N - волну, длительность которой 2*Т(х) растёт с
увеличением х. Возрастание номера кривой на рис.8 соответствует
увеличению пройденного волной расстояния.
и
Рис.7
?
№
Ъ 2 1
г 1
т
32
2 Л?. В условиях предыдущей задачи, используя результаты об эволюции
"линейного профиля" (задача 1.9), найти асимптотическое поведение фурье-
образов при (j6/c|)S'x/Tj Обсудить особенности структуры спектров в
области высоких и низких частот.
Ответ, а) Спектр S~ волны
SUicoTqn Q*
соТ0 V1 ооТ0 J ?•" '
б) Спектр N - волны является автомодельным:
(I)
|С(сс,(о)|=
2V
СоТ
costoT-
sin. (jl>T
соТ
е -|V2 •*] • <*>
|С(Ъс,соГ0^1
Спектры (I), (2) изображены на рис.9. В области высоких частот
спектры спадают по степенному закону, что связано с наличием разрывов.
Для S -
- импульса все составляющие спектра уменьшаются * I/х. Для N -
- импульса максимум спектра постепенно сдвигается в сторону низких
частот; на высоких частотах спектральные составляющие уменьшаются как
1ДГ, а на низких |С(*Х,и))| ** rv CG'fx • Рост спектральной плотности на
низких частотах связан с параметрической
подкачкой энергии при Нелинейном взаимодействии высокочастотных гармоник.
Рис.9
2.18. Сформулировать систему уравнений, описывающих эволюцию профиля
простой волны, содержащей разрыв.
33
Решение. Получим дифференциальное уравнение, описывающее
движение ударного
В'
К'
I ч
в
\
\ д/
\ А -4-
U
U
фронта в сопровождающей системе координат. Рассмотрим разрыв, на
расстоянии X имеющий координату ^(х) (рис.10). Колебательная скорость
непосредственно перед фронтом (точка А ) есть , непосредственно за
фронтом (точка Ъ )-- U.J • Когда расстояние увеличится наД'Х , точка А
перейдет в Д' , координата которой ^ (х)- (?/сJ) U ДХ. , точка Ъ -
