Нелинейная акустика в задачах - Гурбатов С.Н.
ISBN 5-211-02328-5
Скачать (прямая ссылка):
Свести эту систему к одному нелинейному уравнению для переменной ^(х ,4:
) - смещения частиц среды из своего начального положения X .
Решение. Исходные уравнения гидродинамики в лагранкевом представлении
имеют вид [I; 4]
Первое уравнение есть обобщение второго закона Ньютона для сплошной
среды. Второе - уравнение непрерывности - закон сохранения массы
вещества, записанный в дифференциальной форме. Третье - уравнение
состояния, которое для быстрых (по сравнению с термодиффузией) процессов
сжатия и разрежения, сопровождающих распространение звука, записывается в
форме адиабаты Пуассона.
Простой волной называют такой волновой процесс (вообще говоря,
нелинейный), в котором все описывающие этот процесс переменные могут быть
выражены друг через друга с помощью некоторых связей. Однако если связи
переменных содержат интегралы иди производные, волна не будет простой;
физически это означает появление дисперсии, т.е. зависимости поведения
даже очень слабого возмущения от его спектрального состава. Поскольку два
последних уравнения системы (I) представляются в виде
L+'bf/bx ' (2)
то плотность и давление выражаются как функции только одной переменной
Это означает, что система (I) имеет
решение в виде простых волн.
Возьмём уравнение состояния (I) в форме адиабаты. Тогда из (2 ) имеем ? =
Jp0 (1 + ^/Эх)' Подставляя это соотношение в правую часть первого
уравнения (I), придём к нелинейному уравнению Ирншоу
6
Ъ% = сг
0 о^д>*у+1' {3)
здесь Со= С(r) <>o/So>I/2 - равновесная скорость звука. Уравнение (3)
содержит нелинейность общего вида и формально пригодно для описания
сильных возмущений; требуется, однако, чтобы знаменатель в (3) не
обращался в нуль ( /Ъх. 4 - 1).
В нелинейной акустике имеют дело со слабо-нелинейными волнами, для
которых
1.2. Считая нелинейность слабой, упростить уравнение Ирншоу 1.1(3),
сохранив в нём только два главных нелинейных члена.
Решение. Воспользуемся приближённым соотношением
bWk-...
Подставляя разложение (I) в правую часть уравнения Ирншоу,най-
'Ъэс? cJ'Bt2 'Ъ-Х-Ъъ. 2 Л3х'
Левая часть (2) соответствует обычному линейному волновому уравнению.
Правая часть, полученная в результате разложения нелинейности общего вида
в ряд по степенным нелинейностям, содержит квадратично-нелинейный и
кубично-нелинейный члены.
1.3. Нелинейная среда занимает полупространство ъ>0 ,а на её границе *Х "
О задан гармонический сигнал ^ = A Sin Ottt
с частотой (О . Анализируя уравнение 1.2(2) методом последовательных
приближений, определить, какие частоты могут возникать при
распространении волны в среде из-за квадратичной и кубичной
нелинейностей.
Решение. Считая нелинейные эффекты слабыми, в первом приближении
пренебрежём в уравнении 1.2(2) его правой частью. Решением линейного
волнового уравнения в виде бегущей в положительном направлении оси 9С.
волны будет
= A Sin, со (к - ОС/Со) . (I)
Чтобы найти решение второго приближения ^ нужно подставить
(I) в правую часть нелинейного уравнения, которая при этом примет вид
где X в ^ - Х/с0 - время в "сопровождающей" системе координат, движущейся
равномерно вместе с волной со скоростью звука с0 . Уравнение второго
приближения с правой частью (2) будет таким: ^ = р ^ _
*у (j)
ЪЪг С* 'И* 4 С"'
Видим, что F имеет смысл "вынуждающей силы" в неоднородном волновом
уравнении (3); она возбуждает новые волны на частотах второй гармоники
260 (квадратично-нелинейный эффект) и третьей гармоники ЗСО (кубично-
нелинейный эффект). Кроме того, кубичная нелинейность вносит
дополнительный вклад в волну основной частоты 00 (эффект
самовоздействия).
1.4" Указать, волны каких частот могут возникать в квадратично-нелинейной
среде (в первом приближении), если на её входе х " 0 задан
бигармонический сигнал ^ = А ^SVfL (0{\: + К2 Рассмотреть предельный
случай
Ответ. По аналогии с задачей 1.3 нетрудно показать, что в среде
генерируются вторые гармоники 2С04, 2(Оеволн исходных частот, а также
возмущения на суммарной 60*+002 и разностной C0i-C02 частотах. При G0t-
*00gбудет генерироваться только btq рая гармоника, так как эффективность
возбуждения разностной час тоты стремится к нулю (см. также 1.7)
1.5. Пользуясь методом медленно изменяющегося профиля, упростить
уравнение 1,2(2), сохранив в нём только квадратично-нелинейный член.
Решение, Метод.медленно изменяющегося профиля позволяет существенно
упрощать нелинейные уравнения в частных производных, описывающие процесс
распространения интенсивных волн.
После упрощения уравнений, естественно, и решать их гораздо проще. Идея
метода состоит в следующем. При отсутствии
8
нелинейных членов решением уравнения 1.2(2) будет сумма двух бегущих волн
произвольной формы: ( i - Х/С0 ) +^(t +
+ х/с0). Волна с профилем Ф(<С) распространяется в положительном
направлении оси х , волна V - в отрицательном. Нас будет интересовать
первая из этих волн. Когда имеется слабая нелинейность и правая часть
уравнения отлична от нуля, форма волны уже не будет постоянной; она будет
