Нелинейные колебания, динамические системы и бифуркации векторных полей - Гукенхеймер Дж.
ISBN 5-93972-200-8
Скачать (прямая ссылка):
имеет пару чисто мнимых ненулевых собственных значений - имеет место
бифуркация Хопфа. В этой бифуркации из положения равновесия появляется
окружающий его предельный цикл. В данном случае предельный цикл устойчив.
Бифуркации седло-узла и Хопфа будут рассмотрены в главе 3.
Кроме того, наблюдаются более вырожденные бифуркации:
(iii) В точке А: (сг, у) = (1/\/3, д/8/27) имеется единственная
негиперболическая неподвижная точка с нулевым и отрицательным
собственными значениями.
(iv) В точке О: (сг, у) = (1/2,1/2) имеется сток и вырожденная
неподвижная точка с двойным нулевым собственным значением.
(v) В точке С: (сг, у) = (0,0) имеется источник и окружность вырожденных
седло-узлов, как в усредненной системе (2.1.7).
Соответствующие фазовые портреты изображены в верхних пяти рядах на рис.
2.1.3. Бифуркации двойного вырождения (iii) и (iv) рассматриваются в
главе 7. Случай (v) "бесконечно вырожден", так как здесь имеется
континуум неподвижных точек.
Cartwright [1948] заметила, что фазовые портреты в области IV вблизи ОБ и
вблизи OD топологически неэквивалентны: первый имеет предельный цикл
(рожденный в бифуркации Хопфа), а второй - нет. Она предположила, что
должны существовать дополнительные точки бифуркаций, в которых предельные
циклы исчезают, и область IV нужно поделить на две подобласти IVa и IVb.
Gillies [1954] частично обосновал эту гипотезу, используя численные
решения. Holmes, Rand [1978] показали, что гипотеза верна по существу и
что:
(vi) Существует третья бифуркационная кривая OS (В sc), касательная к Bg
и к Вн в точке О, на которой существует гомоклиническая орбита к седловой
точке. При приближении к В$с сверху (IVa) период замкнутой орбиты
неограниченно растет и она сливается с седловым соединением, которое
разрушается при входе в область IVb. Другие, более вырожденные ситуации
имеют место в точках В и S, а на CS вышеупомянутая бифуркация "седло-
узел" происходит на некоторой замкнутой орбите. Эти случаи изображены в
трех нижних строках рисунка 2.1.3. Все эти бифуркации типичны для
двупараметрических семейств и будут изучены ниже. Заметим, что седловое
соединение на В$с и седло-узел на замкнутой орбите на SC представляют
собой "экзотические" предельные множества для двумерных потоков и
представлены в первой главе.
104
Глава 2
Обращаясь к рисункам 2.1.2, 2.1.3, мы видим, что область затянутых
колебаний в пространстве параметров ограничена кривыми (СВ) U {BE), так
как выше этих кривых существует хотя бы один сток для (2.1.14) и,
следовательно, полная система (2.1.2) имеет периодическую орбиту периода
2тг/и>. В областях IVa и III система (2.1.14) обладает устойчивым
гиперболическим предельным циклом и, следовательно, полная система
(2.1.2) имеет притягивающий тор с квазипериодическим решением на нем. В
областях II и IVa сосуществуют два притягивающих решения (в первой - два
стока, во второй - сток и предельный цикл), поэтому в области IVa
возможны и резонансное, и квазипериодическое колебания.
В главе 4 мы увидим, что бифуркации седло-узел и Хопфа, имеющие место в
усредненном уравнении (2.1.14), соответствуют аналогичным бифуркациям для
отображения Пуанкаре в полной системе, а глобальные бифуркации,
происходящие на OS и CS, сигнализируют о наличии более сложных явлений
для отображения. Аналогичные явления, включающие трансверсальную
гомоклиническую орбиту, происходят в уравнении Ван дер Поля с сильным
возбуждением, которое обсуждается ниже, а также в других примерах данной
главы.
Перейдем теперь к осциллятору с сильным возбуждением, считая в уравнениях
(2.1.1), (2.1.2) а,/3 1. При изучении этих уравнений, в свя-
зи с моделями радарного оборудования, Cartwright и Littlewood [1945]
заметили, что для некоторых диапазонов изменения параметров можно
получить два различных устойчивых квазипериодических движения периодов
(2k ± 1)(27t/cj), где к - большое число1. Впоследствии Levinson [1949] и
Levi [1978, 1981] исследовали упрощенную кусочно-линейную модель, что
позволило получить больше информации. Мы приведем некоторые из этих
результатов, основываясь на геометрической интерепретации Levi. Заметим,
что Гукенхеймер [1980а] также разработал некоторую геометрическую модель,
описывающую поведение систем с сильным возбуждением для различных
диапазонов изменения параметров.
Как и ранее, промасштабируем (2.1.2), полагая у = у/а и сохраняя прежнее
обозначение для у. Получим сингулярно возмущенную проблему
'В действительности, это уже было экспериментально обнаружено Ван дер
Полем и Ван дер Марком [1927]. Более современный анализ затянутых
колебаний содержится в Flaherty, Hoppensteadt [1978].
х = а(у-Ф{х)), у = ^(-х + f3p(t)).
(2.1.15)
2.1. Уравнение Ван дер Поля
105
Рис. 2.1.4. Область захвата для уравнений Ван дер Поля (2.1.15)-(2.1.16).
t е
пТ, (n+^jT
Р(1) = \ Г, X (2.16)
- 1, t ?
|)г, (п + 1)г)
- кусочно-линейные функции.
При достаточно большом фиксированном значении а снова удается отыскать
