Нелинейные колебания, динамические системы и бифуркации векторных полей - Гукенхеймер Дж.
ISBN 5-93972-200-8
Скачать (прямая ссылка):
общей проблеме аэроупругого флаттера (Dowell [1975, 1980], Holmes [1977],
Holmes, Marsden [1978]), при изучении устойчивости транспортных средств с
резиновыми шинами или с гусеницами (Cooperrider [1980], Beaman, Hedrick
[1980], Taylor [1980]), а также в некоторых моделях химических реакций
(см. Uppal et al. [1974])1.
Основную систему можно записать в виде
х + аф(х)х + х = Pp(t), (2-1.1)
где функция ф{х) четна, отрицательна при \х\ < 1 и
положительна
при \х\ > I,2 функция p{t) имеет период Т, а а, (3 -
неотрицательные
1 Исследованию уравнения Ван дер Поля посвящено большое число работ в
отечественной литературе. (См., например, Андронов [1959], из современных
- Морозов [1, 2].) - Пргт. ред.
2 Для справедливости результатов, указанных ниже, на функцию ф(х)
необходимо нало-
2.1. Уравнение Ван дер Поля
97
параметры. Для дальнейшего удобно переписать (2.1.1) как автономную
систему
х = у - аФ{х),
у = -х + /3р(в), (х,у,6) ?|2 х S1, (2.1.2)
0 = 1,
X
где Ф(ж) = / </>(?) d? - нечетная функция, равная нулю при х = 0 и х = о
= ±а для некоторого а > 0. Многие из упомянутых здесь результатов
справедливы в общем случае, но для простоты мы сначала допустим, что ф, Ф
и р имеют вид:
ф(х) = х2 - 1; Ф(х) = }-х3 - х; p(t) = cosut. (2.1.3)
О
Для задач с интенсивным возбуждением мы будем использовать
кусочнолинейные функции.
Отсутствие возбуждения, /3 = 0
Двумерная система, получаемая из (2.1.2) при /3 = 0, весьма проста.
Сначала предположим, что а"1- малый параметр, так что система (2.1.2)
является возмущением линейного осциллятора
х=у, у = - х, (2.1.4)
фазовая плоскость которого заполнена круговыми периодическими орбитами
периода 2тг. Используя обычные методы теории возмущений или усреднения,
можно показать, что ровно одна из этих орбит сохраняется при возмущениях.
Применяя обратимое преобразование
(u\ _ ( cost - sin А ...
\^г;у - \^- sint - costJ \yj ' ( • • )
мы преобразуем (2.1.2) к виду
ii = - a cos t\(u cost - v sint)3/3 - (u cos t - v sin t) ],
1 ' (2.1.6)
v = a sin t[(u cost - vsint) /3 - (ucost - nsint)].
жить дополнительные ограничения ири \х\ -> ос. В частности, если нужно
получить единственную устойчивую периодическую орбиту, мы потребуем,
чтобы эта функция оставалась при |ж| -> ос строго положительной (см.
Stoker [1950]).
98
Глава 2
Заметим, что это преобразование сохраняет ориентацию. Данное свойство не
имеет особого значения, помимо традиций исследований нелинейных
колебаний.
Затем мы усредняем правые части в (2.1.6) с целью аппроксимировать
функции и, v, которые медленно меняются вследствие малости производных й
и у. Интегрируя их по времени на промежутке [0, 2д] при постоянных и, v,
получим
1 - (и2 + г>2)/4 й = аи •---------------- .
(2.1.7)
- (и2 + г>2)/4
v = av
Теория усреднения, описанная в разделе 4.1, показывает, что данная
система первом приближении и имеет погрешность 0(а2). Следовательно,
точна в
в полярных координатах мы имеем
аг
(l - + 0(а2),
Г 2 V 4 ) ' у' (2.1.8)
ф = 0 + 0(а2).
Пренебрегая членами 0(а2), можно утверждать наличие у этой системы
притягивающей окружности г = 2, состоящей из неподвижных точек, что
отражает существование однопараметрического семейства почти
синусоидальных решений
х = r(t) cos(t + (p{t)) (2.1.9)
с медленно меняющейся амплитудой r(t) = 2 + 0(а2) и фазой <p(t) = +
+ 0(а2), где постоянная ip° определяется начальными условиями.
Если а не мало, процедура усреднения не срабатывает и необходимо
использовать другие методы. Этот случай обсуждается, например, в Hirsch,
Smale [1974, глава 10]. Однако другой предельный случай при больших а
снова можно определить методами теории возмущений, хотя последние на сей
раз сингулярны. Полагая у = у/а и сохраняя прежние обозначения для
переменных, получим из (2.1.2)
х = а\у -
¦ _ х
У ~ а'
х3
d=f(x,y). (2.1.10)
Так как а 1 1/а, имеем \х\ ;$> \у\ вне некоторой окрестности кри-
вой Чф, заданной уравнением у = х3/3 - х. Поэтому семейство Ж
горизонтальных прямых у = const аппроксимирует поток (2.1.10) вне Чф с
точностью, улучшающейся при а -> оо. Вблизи 9?, и особенно в случае |у -
(х3/3 - х)\ = 0( 1/а2), две компоненты решения сравнимы по величине, и,
следовательно, в этом пограничном слое интегральные кривые
2.1. Уравнение Ван дер Поля
99
У
./-С и
'/п 11
пограничный слои
0(1 /а)
Рис. 2.1.1. Разрывные колебания.
резко заворачивают и идут вдоль до тех пор, пока они не достигнут
покинуть ЧИ и идти вдоль Ж до другой точки ЧИ (см. рис. 2.1.1). Переходя
от этих идей к точным формулировкам, можно найти такую кольцевую область
R, на границе которой векторное поле направлено внутрь и которая,
вследствие теоремы Пуанкаре-Бендиксона, должна содержать замкнутую
орбиту, поскольку при а ф 0 она не содержит положений равновесия. Для
доказательства единственности этой орбиты покажем, что поскольку решения
проводят большую часть времени вблизи устойчивой ветви на которой след Df
= -а(х2 - 1) < 0, то любая орбита внутри кольца R должна быть
