Нелинейные колебания, динамические системы и бифуркации векторных полей - Гукенхеймер Дж.
ISBN 5-93972-200-8
Скачать (прямая ссылка):
существует и много других возможных случаев касания (см. Гаврилов,
Шильников [1973]).
Первый из представленных здесь результатов Гаврилова и Шильникова
показывает, что существуют последовательности бифуркаций седло-узел,
накапливающихся к точке р = 0 сверху и снизу.
404
Глава 6
W"(0)
0
W\0)
Ро
ju> О
ju=0
ju< О
Рис. 6.6.1. Гомоклиническая бифуркация для плоского диффеоморфизма.
Мы используем для анализа данной ситуации подход, аналогичный
применявшемуся при описании теоремы Смейла [1963, 1967] о существовании
подков. Здесь мы опишем инвариантные множества, изменяющиеся вместе с р,
при этом их периодические точки возникают, исчезают или меняют тип
устойчивости. Бифуркации этих периодических орбит необходимо являются
седло-узлами или удвоениями периода, так как отображение вблизи 0 сжимает
площади, что подавляет растяжение под действием /м в других точках
рассматриваемых нами множеств и позволяет построить одномерные
центральные многообразия, соответствующие переходу простых собственных
значений производной Df(tm) через +1 или -1. В начале построения этих
инвариантных множеств мы используем теорему об устойчивом многообразии
для выбора таких координат, в которых локальное устойчивое многообразие
точки 0 является отрезком оси х, а локальное неустойчивое многообразие -
отрезком оси у. Это можно сделать одновременно для всех р, так как
локальные устойчивое и неустойчивое многообразия точки 0 непрерывно
зависят от у. Допустим также, что 1HS(0) и Wu(0) являются "плоскими" в
некоторой окрестности V начала координат.
Сначала рассмотрим систему при у = 0. Пусть ро = (0, уо) - точка касания
VCs(0) и 1Н"(0), лежащая в окрестности V и заданная в выбранных нами
координатах. Пусть U С V - малая прямоугольная окрестность точки ро. Мы
хотим проследить последовательные итерации множества U вплоть до их
последующего пересечения с этим же множеством, а затем исследовать
гиперболичность этого пересечения. Напомним, что по сделанному
предположению устойчивое и неустойчивое многообразия пересекаются
определенным образом, как изображено на рисунке 6.6.1. Очевидно, что
существует такое целое число к, что fk(po) лежит на локальном устойчивом
многообразии точки 0. Кроме того, кривая Wu(0) касается оси х в точке
fo{po), а по сделанному предположению в окрестности данной точки она
представляет собой график функции с положительной второй производной, см.
рисунок 6.6.2.
6.6. Гомоклинические бифуркации периодических орбит
405
Рис. 6.6.2. Окрестности V, U и fk(U).
Затем рассмотрим итерацию точки ро и кривой Wu(0), следующую за /о (ро)-
Для упрощения наших оценок и концентрации на существенных свойствах этой
итерации мы изучим конкретный пример, оставляя обобщение доказательств в
качестве упражнения. В частности, мы считаем /о линейным в выбранной
координатной окрестности, так что
fo(x, у) = Dfo{x, у) = (рх, Ху) (6.6.1)
для всех (х, у) из этой окрестности. Допустим далее, что в выбранной нами
окрестности U точки ро отображение fk является квадратичным вида
/о (х, у - уо) = (х0 - (3(у - уо), -/х + 5(у - у0)2). (6.6.2)
Здесь ро = (0, уо), fo(Po) = 0), а /3, у и <5 - положительные постоянные
(S/3~2 представляет собой кривизну Wu(o) в точке fo(po) в нашей
координатной системе). Это нелинейное отображение переводит вертикальные
отрезки х = с из окрестности U в параболы у = ус + (5//32)(х - х0)2
вблизи fk(po) ? VFS(0).
Для всех п ^ 0 отображение fo+k является квадратичным при условии, что
/о+г(х, у) лежит при г п в нашей координатной окрестности V:
fo+k{x, у) = (рп(х 0 - р(у - Уо)), А"(уа; + 8 (у - yof))- (6.6.3)
406
Глава 6
Уо+?---
Ро=(°'Уо)' Уо~?~'
'C\sn)
ptl + k/ ч
/о (ро)
Рис. 6.6.3. Квадратичное касание влечет существование подковы.
Мы хотим показать, что для больших п существует прямоугольник, содержащий
ро на своей границе, для которого /ц+к имеет подкову. Выберем е > 0, р <
v < А-1 и п такими, чтобы прямоугольник Sn ширины vn, левой стороной
которого является отрезок [у о - е, у о + s) оси у, лежит в V так же, как
и его образ fk(Sn). Мы покажем, что /д+" имеет в Sn подковы для
достаточно больших п.
Заметим сначала, что абсциссы всех точек из fo+k(Sn) меньше величины
рп(хо + (Зе), которая меньше vn при больших п. Затем заметим, что
ордината точки /?+к(х,у) равна \п(р)х + 8(у - уо)2), чт° близко к уо при
\у - уо\ ~ (уо\~п/5)1/2, так как \п^х < \п^ип -> 0 при п -> сю. Таким
образом, образ fo+k{Sn) пересекает Sn по двум вертикальным полоскам, чьи
прообразы близки к горизонтальным полоскам в окрестности значений у,
удовлетворяющих равенству |у - уо\ = (уо\~п/5)1/2, см. рисунок 6.6.3.
Производная от fn+k на V равна
щп+к
0 ~(3рп
7Л" 25\п(у - уо)
(6.6.4)
Если |у - уо\ = {у0\ п/5)1/2, а п велико, то ?>/q+fe аппроксимируется
вырожденной матрицей
0 0
7 А" 2(у0(5А")1/2
(6.6.5)
6.6. Гомоклинические бифуркации периодических орбит
407
имеющей собственные векторы (1, -уАп/2/2\/уо8) и (0,1). Хотя вертикальная
