Нелинейные колебания, динамические системы и бифуркации векторных полей - Гукенхеймер Дж.
ISBN 5-93972-200-8
Скачать (прямая ссылка):
равным
-I =
-1 0
0 -1
Если z мало, то z ("/A+1) велико, a z а^х мало. Заметим, что произведение
6ц 612 Cll С12 0 0' 0 611С12 + 612С22
621 622 С21 С22 0 1 0 621С12 + 622С22
(6.5.12)
имеет собственные значения 0 и /1(621012 + 622С22) с соответствующими
собственными векторами (1, 0) и (бцсщ + 612С22, 621С12 + 622022)-
Поскольку /г = 2-("/a+1), то при z ^ 0 второе собственное значение
бесконечно велико, так как для выбранных полосок z', z" -> 0, а если
отношение |(611С12 + 612C22)/(621C12 + 622022)! остается ограниченным, то
данные собственные векторы лежат в отделенных конусах. Кроме того,
собственные векторы и собственные значения матриц (6.5.10) и (6.5.12)
близки друг другу ввиду гладкости их зависимости от элементов матрицы.
Если величина (621С12 + 622С22) не отделена от нуля для точек из V П ф о
ip(V) при z ^ 0, мы должны добавить к потоку <f>t некоторое возмущение
для достижения этого свойства. Для этого сгодится возмущение, обладающее
эффектом закручивания траекторий вокруг у, так что возмущенное
отображение возврата является произведением (слева) с жестким вращением;
см. рисунок 6.5.6.
402
Глава 6
Рис. 6.5.6. Малое возмущение 0г-
Теперь секториальную структуру для (6.5.11) можно получить из предельных
свойств данного произведения при z', z" ¦ 0. (Наличие таких свойств
следует из того, что в -> 0, а 7 (mod тт) стремится к значению,
определяющему в Si линию, переводимую отображением D<p{q) в
горизонтальную прямую на плоскости, касательной к So в точке р.) Любые
малые секторы вблизи этих предельных значений удовлетворяют (НЗ), если z'
и z" достаточно малы. Выбирая последовательность прямоугольников W в V,
высоты которых убывают в геометрической прогрессии, мы получим
последовательность подков для возмущенного потока, который по-прежнему
имеет гомоклиническую орбиту в положении равновесия в начале координат.
Следствие 6.5.2 (Шильников [1965]). Пусть X - векторное поле класса Сг в
R3, имеющее положение равновесия р, для которого'.
(i) собственные значения в точке рравны а ± i/3, X, где |а| < |А| и /3 ф
0;
(ii) точка р имеет гомоклиническую орбиту
Тогда существует такое возмущение Y для X, которое обладает инвариантными
множествами, содержащими трансверсальные гомоклинические орбиты.
Упражнение 6.5.2. Изучите бифуркационное поведение, ассоциирующееся с
гомоклинической траекторией к положению равновесия с собственными
значениями а ± i/З, А, где 0 < А < -а и /3 ф 0. (Подсказка: см. Holmes
[1980с] или Treser [1982].)
6.6. Гомоклинические бифуркации периодических орбит
403
Arncodo и др. [1981, 1982] привели примеры трехмерных систем, для которых
условия этих теорем допускают проверку. Потоки, обладающие такими
гомоклиническими траекториями, были обнаружены также при анализе фазового
портрета уравнений нервного аксона (см. Evans и др. [1982], Feroe [1982],
Hastings [1982]). Другие примеры использования этих идей можно найти в
работах Шильникова [1967, 1970] и Holmes [1980с].
6.6. Гомоклинические бифуркации периодических орбит
Дискретная разновидность бифуркации седловой петли, обсужденной в разделе
6.1, значительно более сложна, чем в непрерывном случае. Если устойчивое
и неустойчивое многообразия седловой неподвижной точки диффеоморфизма /:
М2 -> R2 пересекаются трансверсально, то, как было доказано в главе 5, /
имеет бесконечное множество периодических орбит. Поэтому бифуркации
должны происходить в процессе деформирования некоторого диффеоморфизма с
конечным числом периодических орбит, приводящем к появлению
трансверсальных гомоклинических орбит. Такой процесс впервые был
обнаружен для уравнения Ван дер Поля с сильно нелинейным возбуждением в
работе Cartwright, Littlewood [1945], см. раздел 2.1. Мы также встречали
некоторые из этих бифуркаций в теории Мельникова (см. раздел 4.6). В
данном разделе мы изучим некоторые бифуркации периодических орбит,
ассоциирующиеся с периодической орбитой, имеющей касающиеся устойчивое и
неустойчивое многообразия. Описанные результаты получены Гавриловым и
Шильниковым [1972,1973], а также Newhouse [1979, 1980]. Мы не будем
стремиться к общности, а рассмотрим лишь простейший пример,
демонстрирующий интересующие нас явления.
Пусть /м - однопараметрическое семейство диффеоморфизмов в М2, обладающих
неподвижной точкой в начале координат с собственными значениями р, Л,
удовлетворяющими неравенствам р(р) < 1 < А(р) < р_1(р). Такая седловая
точка, для которой \рр\ < 1, называется диссипативной. Допустим, что
FFs(0) П Wu(0) = 0 при р > 0, а при р = 0 существует точка ро, в которой
FFs(0) П Wu(0) имеют квадратичное касание для /о. Это означает, что
кривизны 1FS(0) и Wu(0) различны. При малых р < 0 многообразия FFs(0) и
1У"(0) должны иметь две точки трансверсального пересечения вблизи ро-
Далее допустим, что при р = 0 участки кривых FFs(0) и Wu(0) между точками
0 и ро ограничивают область, имеющую в начале координат выпуклый угол и
содержащую внутри себя точки из Wu(0) (см. рисунок 6.6.1). Ясно, что
