Нелинейные колебания, динамические системы и бифуркации векторных полей - Гукенхеймер Дж.
ISBN 5-93972-200-8
Скачать (прямая ссылка):
выберем на Si некоторую ориентацию. Возьмем произвольную точку х е S1 и
разобьем S1 на две дуги Iq = [х, /(ж)) и I\ = [/(ж), ж). Для каждой точки
у € S1 определим число
Pv(f) = \ (мощность {/Ду) 0 < i < п, и /Ду) е 70}). (6.2.1)
Ишуитивно, py(f) есть асимптотическая доля тех точек на траектории,
исходящей из у, которые лежат в Iq.
Установим теперь некоторые важные свойства py(f).
Предложение 6.2.1. Число py(f) существует и не зависит от у.
Доказательство. Обозначим N(y,k) мощность множества {/Ду) | О < i < п и
/Ду) ? /о}- Заметим, что py(f) = lim (1 /n)N(y,n). Сначала
П-'ОО
сделаем два наблюдения относительно функции N:
(1) N(y,k + I) = N(y,k) + N(fk(y), I); (6.2.2)
(2) для любых у, г € S1 и к € Z |ЛДу, к) - N(z, к)\ < 1. (6.2.3)
Первое наблюдение непосредственно следует из определения. Второе
наблюдение опирается на анализ точек разрыва функции ЛДу, к). Поскольку х
и f{x) образуют границы дуг Iq и 1\, точки разрыва функции N(y,k) должны
иметь вид /"Дж) для к > i > -1. Однако если у < z и у, z близки к /~Дж),
причем у < /_Дж) < г, то мы имеем /Ду) < х < fl(z) < f{x) и / (у) < f(x)
< fl+1(z)- Таким образом, единственно возможными
точками разрыва являются f~k+1{x) и f(x). Если f~k(x) ф х, то точки f-
k+1(x) и /(ж) делят окружность на две дуги, на каждой из которых величина
-ЛДу, к) есть константа, отличная от единицы.
Исходя из этих наблюдений, получаем неравенство
|ЛДу, пк + 1) - (nN(y, к) + N(y, 1))\ ф п. (6.2.4)
6.2. Числа вращений
369
Полагая N ->¦ оо, получим, что py(f) существует, причем
Py(f)~lN(y.*) < (6-2-5)
Теперь из (6.2.3) немедленно следует, что величина ру(/) не зависит от у,
поэтому мы будем писать p{f) = py(f). Число p(f) есть число вращения
отображения /. ¦
Упражнение 6.2.1. Покажите, что p(f) не зависит также от выбора х, если
p(f) ф 0 или 1. Что произойдет, если / имеет неподвижную точку?
Замечание. Стандартное определение величины p(f) включает изучение
подъемов / с S'1 на М (см. Coddington, Levinson [1955], глава 16 или Hale
[1969] стр. 64-76).
В качестве примера рассмотрим жесткое вращение Ra (в) = в + а. Мы
утверждаем, что p{Ra) = а. Для рациональных а это моментально следует из
определения (6.2.1). Для иррационального а воспользуемся следующим
предложением:
Предложение 6.2.2. Пусть f,g - сохраняющие ориентацию гомеоморфизмы на
S1. Если е > 0 и p(f) ф 0 или 1, то существует 8 > 0 такое, что из
неравенства sup |/ - д\ <8 следует, что \p(f) - p(g)\ < е.
Доказательство. Воспользуемся неравенством (6.2.5). Для данного е > 0
выберем к таким образом, что 1/к < е/2, а также у С S1 такое, что у ф
/(ж) или f-k+1(x). Тогда существует 8 > 0 такое, что Ng(y, к) = = Nf(y,
к) для всех таких д, для которых sup / - д\ < е, что и утверждалось.
¦
Предложение 6.2.3. Пусть ft - семейство сохраняющих ориентацию
гомеоморфизмов на S1 таких, что:
(1) из to < t\ следует, что ft0 < ftp
(2) ни один из ft не имеет неподвижных точек.
Тогда из to < t\ следует, что p{ft0) ^ P(/ti)-
Доказательство. Каждое из ft есть гомеоморфизм, и из to < Н следует, что
fto < ftx- Рассмотрим точку разрыва функции Nft(y,k) в зависимости от t.
Она имеет место для значения t, при котором ft (у) = х Для некоторого I <
к. Мы имеем Д,(у) < х < /t/(y) и Nftо (У> 0 < -W/t! (У> О ПРИ to < t < ti
и малых t\ - to. Заметим, что из неравенства flto(y) < х < flti(y)
следует, что /4го+1(у) < fto{x) < /^(у), откуда при I < к имеем Nf (у, I
+ 1) = Nf (у, I + 1). Следовательно, I = = к и каждая из функций (1
/k)(Nft(x, к)) не убывает по t. Таким образом, предел p(ft) также не
убывает. ¦
370
Глава 6
Упражнение 6.2.2. Докажите, что />(/") = np(f) (mod 1).
Предложение 6.2.4. p(f) рационально тогда и только тогда, когда / имеет
периодическую орбиту.
Доказательство. Если / имеет периодическую орбиту периода п, содержащую
у, то N(y,nk) = kN(y,n), следовательно, число вращения p(f ) = lim
N(y,n)/n рационально. Обратно, если p(f ) = т/п рацио-
п->оо
нально, то p(fn) - 0 (или 1), и для доказательства предложения надо
показать, что /" имеет неподвижную точку. Мы утверждаем, что если р(д) =
= 0, то {дг{у)} монотонна, т. е. либо у < д(у) < д2(у) < ... < у, либо У
> в{у) > 92(у) > ¦¦¦> У- Если бы это было не так, то существовало бы
число к, для которого
у < д(у) < д2(у) <¦¦¦< дк~\у) <у< дк(у)
либо
у > д(у) > д2(у) > ¦¦¦> дк^{у) > у > дк(у)-
В первом случае р(д) > 1/к, во втором - р(д) < 1 - 1/к\ в обоих случаях
имеется противоречие. Если последовательность {дг(у)} монотонна, то она,
очевидно, сходится, а ее предел будет неподвижной точкой для д. я
Для иллюстрации приложения этих идей к примерам, обсуждавшимся выше,
рассмотрим поток на двумерном торе, задаваемый системой
<9i = 1-7sin27r(0i-02),
(6.2.6)
02 = и! + 7sin27r(0i - 02),
где 0i, 02 € Si = [0,1] mod 1, и - фиксированное число в интервале [0,1],
а 7 > 0 - переменный параметр. Такие системы возникают при изучении
линейно связанных осцилляторов с предельными циклами; см. Cohen, Neu
