Нелинейные колебания, динамические системы и бифуркации векторных полей - Гукенхеймер Дж.
ISBN 5-93972-200-8
Скачать (прямая ссылка):
...)| < 5\у/х\. Это означает, что траектории нашего потока вблизи начала
менее крутые, чем 5\у/х\. Из оценок Тронуолла (см.
6.1. Седловые соединения
365
д>д0
Рис. 6.1.3. Бифуркация седлового соединения (показан случай
положительного следа): (а) М и кривые и(д), в(д); (b) /г < /го; (с) /г =
До; (d) д > До-
лемму 4.1.2) следует, что для достаточно малых значений е > 0 решение с
начальными условиями (е, уо) достигает горизонтальной прямой у = е в
точке (ад,е), где \х\\ < lyol1^5^)1-1^5- Поскольку 8 < 1, то |ад|/|уо| ->
+0 при уо -> +0, что и требовалось доказать, см. рисунок 6.1.4.
Из этих рассуждений следует, что производная от РМо стремится к нулю при
х -> q в М. Следовательно, все отображения возврата Рм имеют в малой
окрестности точки Ws{pil) П М коэффициент растяжения, меньший единицы.
Заметим также, что график функции РМо приближается к биссектрисе первого
квадранта по мере приближения к точке q = 70 П М, поскольку до -
гомоклиническая орбита. Теперь из гипотезы (2) следует, что при изменении
д граничные точки графика Рм пересекают биссектрису с ненулевой
скоростью. (Напомним, что отображение Рм определено только для точек на
М, лежащих "внутри" Ws(pIJl) П М, см. рисунок 6.1.5.) Мы приходим к
выводу, что графики функций Рм выглядят качественно аналогично
представленным на рисунке 6.1.5, с точностью до отражения относительно
оси д. Эта диаграмма содержит напоминание о доказательстве теоремы. В
частности, поскольку коэффициенты растяжения отображений Рм меньше
единицы, то каждое векторное поле имеет не более одной периодической
орбиты вблизи усь а существующие периодические орбиты
366
Глава 6
Рис. 6.1.4. Поток вблизи сжимающей седловой точки.
(d)
Рис. 6.1.5. Отображение Пуанкаре Р^ и связанные с ним векторные поля.
Область Рц в М X {/т} выделена жирной линией, (а) /т < /то; (Ь) /т = /то;
(с) /т > /то; (d) отображение.
устойчивы. Кроме того, для значений д по одну сторону от до периодические
орбиты необходимо существуют. ¦
В следующей главе мы встретимся с петлями, образованными несколькими
седловыми сепаратрисами. Теорему 6.1.1 можно обобщить для раз-
6.2. Числа вращений
367
решения таких ситуаций, тогда устойчивость периодических орбит будет
( п А \
определяться величиной In ]Д --), где -Ai < 0 < щ - собственные зна-
г=1 '
чения /'-го седла в петле; см. Reyn [1979].
Упражнение 6.1.4. Проведите указанное выше обобщение теоремы 6.1.1.
УПРАЖНЕНИЕ 6.1.5. Покажите, что если 1 + у < (3 - 1, то следующая система
имеет петлю (гомоклинный цикл), содержащий три седловые точки:
x = x(l-x2 + /З(^уГд)?/2),
2) = ?/((^)+7:E2+(S)?/2)'
Сможете ли вы определить из формулы для следа, является ли данная петля
а- или сэ-предельпым множеством для близлежащих точек (см. разделы 7.4-
7.5)? (Подсказка: сначала покажите, что окружность х2 + у2 = 1
инвариантна для данного потока.)
Грубо говоря, теорема 6.1.1 описывает бифуркацию периодической орбиты
"бесконечного периода". Она не устанавливает другие глобальные свойства,
которые могут ассоциироваться с бифуркациями, включающими гомоклинические
орбиты некоторой неподвижной точки. Это в особенности касается случаев
размерности более двух. Один из примеров возможных усложнений,
ассоциирующихся с такими бифуркациями, имеется в системе Лоренца. Там в
случае, когда начало координат имеет пару гомоклинических орбит, имеется
целое множество траекторий, сечения которых сопряжены сдвигу на двух
символах. Подробности этой ситуации описаны в разделе 6.4. Мы также
отсылаем читателя к разделу 6.5, где обсуждается работа Шиль-никова по
другой гомоклинической бифуркации в трехмерной системе.
6.2. Числа вращений
Следующее явление глобальной бифуркации, которое мы обсудим, связано с
диффеоморфизмами окружности. При анализе слабо нелинейного осциллятора
Ван дер Поля, а также бифуркации Хопфа для периодических орбит, мы
встречались с диффеоморфизмами на плоскости, которые отображают некоторую
(гладкую) замкнутую кривую в себя. До сих пор мы откладывали полную
дискуссию о динамике, имеющей место на такой инвариантной кривой, но
теперь пришло время рассмотреть этот предмет более подробно. Обозначим
окружность S'1 и рассмотрим диффеоморфизмы /: S'1 -> S1. Мы будем считать
S'1 множеством {е2тв \ в G R}, где координата в определена по модулю 1.
368
Глава 6
Исходным пунктом для теории (сохраняющих ориентацию) диффеоморфизмов на
S'1 является существование сохраняющегося циклического порядка на S1.
Если /: S1 ->¦ S1 - некоторый сохраняющий ориентацию диффеоморфизм и х <
у < z в циклическом порядке, то f(x) < /(у) < f(z). Это свойство
сохранения порядка значительно ограничивает динамику - так что любое /
имеет почти ту же самую динамику, что некоторое жесткое вращение Ra,
определенное формулой Ra = 9 + а. Мы будем изучать топологические
свойства диффеоморфизмов окружности таким способом, чтобы прояснить связь
данной теории с теорией необратимых одномерных отображений.
Пусть /: S1 -> S1 - некоторый сохраняющий ориентацию диффеоморфизм,
