Нелинейные колебания, динамические системы и бифуркации векторных полей - Гукенхеймер Дж.
ISBN 5-93972-200-8
Скачать (прямая ссылка):
данной главе).
УПРАЖНЕНИЕ 5.3.5. Определим /: С -"¦ С (комплексные числа) формулой f(z)
- z2. Покажите, что окружность S1 = {е21Тгв 0 ^ в < 1} инвариантна для /.
Пусть Е - пространство односторонних символических последовательностей: Е
= = {{аг})Е0 | ai = 0 или 1}, и а: Е -> Е - отображение сдвига. Покажите,
что отображение тт: Е -> S1, определенное формулой 7г(а) = е21тгв, где а
- двоичное представление в, удовлетворяет уравнению f о тт = ттоа.
Докажите, что существует такое z ? S1, что множество {z2 }"^о плотно в
S1.
УПРАЖНЕНИЕ 5.3.6. Вернитесь к отображению Ван дер Поля из раздела 2.1 и
изучите его динамику в свете вышеприведенной дискуссии.
Фактически все анализы хаотического поведения в конкретных динамических
системах включают идентификацию гиперболических инвариантных множеств.
Зачастую неясно, не являются ли найденные множества частью больших
неразложимых инвариантных множеств. Это важный вопрос, к которому мы еще
вернемся в данной главе. В качестве приложения символической динамики, мы
докажем одну теорему Смейла устанавливающую критерий существования
гиперболических инвариантных множеств для потоков. Конструкция,
используемая при доказательстве этого резуль-
5.3. Разбиения Маркова и символическая динамика
315
тата, типична для большинства рассуждений, обосновывающих существование
хаотических инвариантных множеств.
Теорема 5.3.5 (Гомоклиническая теорема Смейла-Биркгофа).
Пусть /: М" -> М" - некоторый диффеоморфизм, имеющий гиперболическую
неподвижную точку р, и существует точка q ф р трансверсаль-ного
пересечения W&(p) и Wu{p). Тогда / обладает гиперболическим инвариантным
множеством Л, на котором / топологически эквивалентно некоторому
подсдвигу конечного типа.
Доказательство. Идея доказательства состоит в отыскании такой итерации
отображения /, которая выглядит на графике аналогично подкове, см.
рисунок 5.3.3. Мы сделаем это, выбрав для начала малую окрестность U
точки р, свойства которой будут установлены в процессе доказательства.
Поскольку f%{q) -> р при г -> +оо при г -> -оо, существуют такие т,п > 0,
что q G fl(U) для I ^ т и q С / k(U) для к ^ п (рисунок 5.3.4). При
аккуратном выборе U мы получим разбиение Маркова из раздельных множеств,
состоящее из U, V С f~k{U) П fl{U) и fl(V) для -l<i<k. Этот процесс
требует тщательного анализа траекторий, проходящих вблизи q.
Рис. 5.3.3. Теорема 5.3.5.
Возьмем малые окрестности Ws и Wu точки q, лежащие на ее устойчивом и
неустойчивом многообразиях соответственно. Мы исследуем итерации f~l(Ws)
и fk(Wu). Поскольку fk(q) Е U при к ^ п, множество fk{Wu) П U непусто.
Кроме того, fh(Wu) пересекает Ws трансверсально в точке fk(q), так как Wu
пересекает Ws трансверсально в точке q. Локальный анализ, включающий А-
лемму Palis [1969] (см. Newhouse [1980]), приводит к выводу, что fk{Wu) П
U приближается к W^{p)
316
Глава 5
Рис. 5.3.4. Еще один рисунок для теоремы 5.3.5.
при к -> оо. Аналогично, f~l(Ws) П U приближается к W*(p) при I -а- оо.
Следовательно, для достаточно больших к,1 и окрестностей Н" . И ,, нужных
размеров fk(Wu) и f~l(Ws) имеют ровно одну точку пересечения, и последняя
лежит в U (см. рисунок 5.3.4). Наконец, мы выбираем в качестве V ту
компоненту множества f~k(U) П fl{U), которая содержит q. В итоге
множества U и V таковы, что U и fl{V) разделены при -l<i<k.
Сделав такой выбор, построим набор раздельных множеств {U; fl(V), -l<i<
к}, образующих разбиение Маркова Й? для нуль-мерного инвариантного
множества. Матрицей перехода А для Й? является такая матрица размера (к +
Г) х (к + I):
'1 1 0 . . 0"
0 0 1 . . 0
0 0 0 . . 1
_1 0 0 . • 0.
в частности, образ множества U под действием fk+1 пересекает это
множество по вертикальным полоскам, содержащим W^(p) и fk(Wu), и мы
получаем для отображения fk+1 сдвиг на двух символах, который превращает
это отображение в подкову.
УПРАЖНЕНИЕ 5.3.7. Сравните наш вариант теоремы Смейла-Биркгофа с теми,
которые приведены в Smale [1963] и Moser [1973, с. 181-188].
В заключение данного раздела мы наметим анализ Levi притягивающего
множества для уравнения Ван дер Поля, обсужденный в разделе 2.1
5.3. Разбиения Маркова и символическая динамика
317
Рис. 5.3.5. Отображение Ван дер Поля кольца F: R+ -> R+. Определения R+
см. в параграфе 2.1, стр. 107.
и проиллюстрированный рисунком 2.1.5(b). Мы отсылам читателя за
подробностями к работе Levi [1981]. Здесь мы конкретизируем рассмотрения
раздела 2.1, определяя отображение кольца геометрически следующим образом
(рисунок 5.3.5). Допустим, что кольцо D разделено на восемь вертикальных1
полосок Vi, Ri, i = 1, ..., 4, показанных на рисунке, так что четыре
образа
Нг = F(Vi)
являются горизонтальными1 полосками, а четыре образа S, = F ( l\ ,) лежат
в Д1 U /ri, как изображено. Мы определим притягивающее множество sd
обычным образом:
sd=f)Fn(D). (5.3.1)
nS> О
Допустим далее, что отображение F на Ф) осуществляет сжатие вдоль
вертикали и растяжение по горизонтали контролируемым образом, так что
