Нелинейные колебания, динамические системы и бифуркации векторных полей - Гукенхеймер Дж.
ISBN 5-93972-200-8
Скачать (прямая ссылка):
символических последовательностей, как в случае с подковой. Тем не менее,
разбиение Маркова для Л позволяет получить хорошее символическое описание
для Л. Пусть R - некоторый прямоугольник, положим W*(x,R) = W*(x) f) R и
W^(x,R) = Wz(x) П R. Внутренность прямоугольника R, обозначаемая как int
R, определяется как множество таких точек х ? R, для которых существует S
> 0 такое, что W$(x) flAc R и Wg (х) П Л С R. Границей R называется
разность R - int R.
Определение 5.3.2. Разбиением Маркова для множества Л называется конечный
набор прямоугольников {Ri, ..., Rm} = Г такой, что
га
1) Л = и Д<;
г=1
2) int R4 П int Rj = 0 при г ^ j;
3) f(Wu(x, Ri)) э Wu{f{x), Rj) и f(Ws(x, Ri)) с Wu{f(x), Rj) для
всех x ? int Ri, f(x) ? int Rj. Смотри рисунок 5.3.1.
Мы имеем следующее утверждение.
Теорема 5.3.2 (Bowen [1978]). Компактные максимальные неразложимые
гиперболические инвариантные множества обладают разбиениями Маркова.
Для построения разбиений Маркова для гиперболического множества Л
читателю следует ознакомиться с работами Bowen [1978] или Schub [1978].
Ключевой шаг в доказательстве данной теоремы опирается на свойство
затенения псевдоорбит в Л. Будем говорить, что последовательность х =
{xi}i=a является а-псевдоорбитой для /, если d(xi+\, f{xi)) < а для всех
а ^ i ^ Ь. Точка у (3-затеняет х, если d(f%{y), ж*) < /3 для а ^ г ^ Ь.
Можно представить себе псевдоорбиту как случайным образом возмущенную
траекторию /, причем на каждой последовательной итерации можно независимо
придавать / возмущения, меньшие а, а затем проводить следующую итерацию.
Такие орбиты, по существу, аналогичны тем, которые получаются при
численных реализациях отображений на компьютере, а также в физических
экспериментах. Следующее предложение устанавливает, что все псевдоорбиты
аппроксимируются траекториями самого отображения /. Смотри рисунок 5.3.2.
5.3. Разбиения Маркова и символическая динамика
313
Рис. 5.3.2. (а) а-псевдоорбита; (Ь) точка у /З-затеняет х.
Предложение 5.3.3 (лемма о затенении, Bowen [1970,1978]). Пусть Л -
гиперболическое инвариантное множество. Тогда для любого /3 > 0
существует а > 0 такое, что любая а-псевдоорбита {ад}^=а, лежащая в Л,
/3-затеняется некоторой точкой у € А.
Доказательство приведено в Bowen [1978] и Newhouse [1980].
Из этого предложения следует, что хотя компьютер может вычислять и не ту
орбиту, какую вы хотите, то, что он строит, является все же
аппроксимацией некоторой истинной траектории рассматриваемой системы.
Разбиения Маркова непосредственно приводят к хорошему символическому
описанию динамики гиперболических множеств Л. Символьное пространство
представляет собой множество бесконечных в обе стороны
последовательностей с конечным набором элементов (прямоугольники
разбиения), а динамика / порождается отображением сдвига на
последовательностях. Теперь опишем формально результирующий объект,
подсдвиг конечного типа.
Пусть Й? = (/1'|. ..., Пщ) - разбиение Маркова для множества Л,
состоящего из замкнутых прямоугольников. Определим (ш х ш)-матри-цу А =
(Aij), полагая Aij = 0 для тех значений индексов, для которых
int R4 П /_1 (int Rj) = 0,
и = 1 в противном случае. Определим Ед как множество бесконечных в обе
стороны последовательностей а = {аг}^_оо> аг С {1, ..., ш},
удовлетворяющих свойству .4 ,,. ". = 1 для всех i G Z. Отображение
сдви-
га сг таких последовательностей дается формулой сг(а) = Ь, где bi = а, \
\. Очевидно, сг(Ед) = Ед. Множество Ед вместе с отображением сдвига а
называется подсдвигом конечного типа с матрицей перехода А. Заметим, что
Еа является замкнутым подмножеством множества бесконечных в обе стороны
последовательностей из символов {1, ..., ш} и, следовательно,
314
Глава 5
представляет собой компактное метрическое пространство с метрикой, взятой
из Е. Символическая динамика Л, ассоциированная с -'А, описывается
следующим предложением.
Предложение 5.3.4. Для любого а ? Ед множество п f-j{Raj) со-
je z
стоит ровно из одной точки, обозначаемой тт (а). Отображение тт: Ед -> Л
является непрерывной сюръекцией, тт о а = / о тт, причем тт взаимно одно-
т
значно на множестве П(/Чи ИЩ)сА.
j = 1
Доказательство смотри в Bowen [1970].
Исключая подмножество Л, состоящее из точек, чьи траектории пересекают
границу некоторого прямоугольника, данное предложение утверждает, что
подсдвиг конечного типа дает правдивое топологическое представление
гиперболического множества Л вместе с его динамикой. Если Л нуль-мерно
(канторово множество, аналогичное инвариантному множеству подковы), то
разбиение Маркова для Л можно выбрать так, что его прямоугольники попарно
разделены. Таким образом, нуль-мерные гиперболические множества
топологически сопряжены подсдвигам конечного типа. Множества Л более
высокой размерности можно получить из подсдвигов конечного типа путем
идентификации последовательностей, подобной различению двух
действительных чисел по их десятичным представлениям (см. введение к
