Теория суперструн. Том 1 - Грин М.
Скачать (прямая ссылка):
довольно необычно, но оказывается, что для свободных бесспиновых полей в
пространстве размерности (1 + 1) они действительно появляются.
Самый быстрый способ определить аномальную размерность оператора eik'x -
это изучить двухточечную функцию этого оператора. Вообще говоря, в
масштабно инвариантной теории двухточечной функцией оператора У
размерности р является <У(г)У(0)> = С|г|_2р, где С - некоторая константа.
Из нашего обсуждения, приведенного выше, следует, что двухточечной
функцией оператора etk'x является {eik'х ^)e~ik'x^))~ \ z |~fe2/2. Отсюда
мы можем сделать вывод, что eik'x является оператором (аномальной)
размерности &2/4. Требуя, чтобы он имел размерность, равную двум, мы
определяем квадрат массы тахиона m2 - -k2 = --8. Действительно, читатель
легко может проверить, что М-точечная амплитуда (1.4.8) инвариантна
относительно глобальных масштабных преобразований при условии, что т2 = -
8, а импульс сохраняется = 0). Можно также
установить, что при тех же условиях амплитуда в (1.4.8) обладает полной
SL(2, С)-инвариантностью.
То, что мы определили формулой (1.4.13), было амплитудой рассеяния п
тахионов. Эта амплитуда имеет прекрасное ультрафиолетовое поведение,
благодаря которому струнная теория и приобрела известность. Однако,
вероятно, еще больший теоретический интерес представляет задача
построения амплитуды рассеяния гравитонов со столь же прекрасным
ультрафиолетовым поведением. Это построение можно провести аналогично.
1.5. Другие аспекты струнной теории
57
Нужно просто заменить тахионный оператор V = ^ d2oeikX
оператором гравитона Ft*v = ^ d2odaX'1daX'/e'k'x и повторить все
приведенные выше вычисления. Они окажутся намного сложнее,, чем в
тахионном случае (но значительно проще вычслений гра-витон-гравитонного
рассеяния в теории поля). Мы отложим вычисление амплитуды гравитон-
гравитонного рассеяния до гл. 7,. где такие вычисления будут проведены в
еще более интересном случае суперструнных теорий, которые совершенно
последовательны и не содержат тахионов. Здесь же мы только вычислим массу
гравитона. Так же как и масса тахиона, она может быть определена из
требования глобальной масштабной инвариантности проинтегрированного
вершинного оператора. Это означает, что размерность оператора =
daXv'dvetk'x должна быть равна двум. Отличие от тахионного случая
заключается в том, что из-за наличия двух производных размерность W^ уже
на классическом уровне равна двум, а поэтому в данном случае мы хотим,
чтобы аномальная размерность eik x была равна нулю. Так как этот оператор
в действительности имеет аномальную размерность k2/A, то требование
нулевой аномальной размерности означает, что k2 = 0 или, другими словами,
что гравитон является безмассовой частицей. Это, несомненно, один из
наиболее эффективных способов убедиться в том, что в струнной теории
возникают безмассовые частицы спина два. Точно1 так же можно увидеть, что
дилатон с оператором VD =
= ^ d2odaXpdaX^ek'x или частица, описываемая антисимметричным тензором с
оператором Vav = ^ d2oea^daX,xd^Xveik х. должны быть безмассовыми. Этим
исчерпывается список безмассо-вых частиц (в теории замкнутой струны), так
как нет больше подходящих операторов размерности два. Другие возможные
вершинные операторы соответствуют частицам с положительным квадратом
массы. Например, частица Y спина четыре с вершинным оператором ^
d2odaXlldaXvd^Xld^Xpetk'X была
бы массивной частицей cm2 = +8.
1.5. Другие аспекты струнной теории
1.5.1. Гравитационные тождества Уорда
В приведенном выше обсуждении безмассовость гравитона появилась как некий
сюрприз; исторически так оно и произошло. Ничто в этом обсуждении не
позволяет думать, что взаи-
58
1. Введение
модействие гравитона будет калибровочно инвариантным, хотя можно
догадаться, что оно окажется таковым просто по той причине, что одним из
нескольких возможных способов построить последовательную теорию
безмассовой частицы со спином два является использование свойства общей
ковариантности ').
Действительно, нетрудно продемонстрировать появление тождеств Уорда,
аналогичных тем, которые следуют из общей ковариантности в
общековариантных полевых теориях.
Рис. 1.14. Здесь изображена амплитуда рассеяния М калибровочных бозонов,
один из которых (отмеченный (r)) взят в состоянии с продольной
поляризацией. В КЭД эта амплитуда (рис. а) просто обратилась бы в нуль,
тогда как в неабелевой теории структура тождеств Уорда сложнее (рис. Ь).
Сначала вспомним, какова природа тождеств Уорда в теории поля. Рассмотрим
М-точечную функцию ... ^ (kv k2........
..., kM) для М внешних фотонов с поляризациями |Ль ..., \лм и импульсами
ku ¦¦¦, км в КЭД. Эта амплитуда обращается в нуль (даже вне массовой
поверхности), если один из фотонов, отмеченных на рис. 1.14, имеет
продольную поляризацию. Таким образом, &Мц ц ... цд, (&,, k2, ..., ftAj)
= 0. Полезно вспомнить, как это доказывается. М-точечная амплитуда
записывается через корреляционную функцию токов
