Теория суперструн. Том 1 - Грин М.
Скачать (прямая ссылка):
1.4.2. Вершинные операторы
На первый взгляд, вычисление интеграла по мировым поверхностям струны,
соответствующим одной из диаграмм на рис. 1.9, представляет собой
довольно трудную задачу. Она становится разрешимой, если учесть
инвариантность действия (1.3.8) относительно конформных преобразований,
меняющих масштаб метрики мировой поверхности /lag-'-e'P/iap. Подходящим
выбором ф мировая поверхность на рис. 1.10, а, имеющая
1.4. Взаимодействия струн
47
трубки, уходящие в далекое прошлое и далекое будущее и соответствующие
налетающим и уходящим струнам, может быть превращена в компактную
поверхность, изображенную на рис. 1.10,6. В то же время дырки на мировой
поверхности струны, соответствующие внешним состояниям, затягиваются, и
внешние струнные состояния представляются в виде точек, как это указано
на рис. 1.10,6.
Какой тип конформных преобразований метрики может привести к таким
чудесам? Рассмотрим наипростейший случай мировой поверхности, с только
одной налетающей струной и одной
Рис. 1.10. Конформная инвариантность позволяет вычислять струнные
диаграммы. Помимо всего прочего оказывается возможным компактифицировать
мировую поверхность, затягивая отверстия, соответствующие налетающим и
уходящим частицам. С помощью этой процедуры внешние струнные состояния,
скажем на диаграмме, изображенной на рис. а, проецируются в точки,
обозначенные (r) на рис. Ь: в эти точки должны вставляться соответствую-
уходящей, которая представляется в виде цилиндра с метрикой ds2 = dz2 +
dcp2, -оо < 2 < оо, 0 ^ ф ^ 2л, изображенного на рис. 1.11, а. Если мы
положим z = In г, то ds2 = r~2 {dr2 + r2dq>2). Конформным преобразованием
ds2-*- ds2 = r2ds2 мы получим новую метрику ds2 = dr2 + r2dq>2, в которой
можно узнать метрику плоскости. Налетающая струна, которая была
окружностью в далеком прошлом (z = -оо, 0^ф^2я), спроецировалась в точку,
расположенную на конечном расстоянии (г = 0), как это показано на рис.
1.11,6, а уходящая струна спроецировалась в точку на бесконечности. Если
мы хотим спроецировать и налетающие, и уходящие струны в точки на
конечном расстоянии, необходимо, чтобы конформным множителем было не г2,
а некоторая функция, которая ведет себя как г2 при малых г и как t 2 при
больших г. Если, например, мы изменим масштаб метрики ds2 с помощью
конформного множителя r2( 1 + г2/а2)-2, то новая метрика dsi = (dr +
r2ckp2)/(l + г2/а2)2 является стандартной метрикой на сфере. Налетающая и
уходящая струны являются теперь точками, расположенными на конечном
расстоянии, а именно южным и северным полюсами сферы, изобра-
щие локальные операторы.
48
1. Введение
женной на рис. 1.11, с. Для более сложных струнных диаграмм со многими
внешними линиями конформный множитель можно подобрагь так, чтобы каждая
из них отобразилась в точку, расположенную на конечном расстоянии. Суть
дела состоит в том, что для отображения данной налетающей или уходящей
струны L в точку, расположенную на конечном расстоянии, важно только
асимптотическое поведение еч> на L, т. е. достаточно далеко на ней;
асимптотическое поведение e'f может быть выбрано независимо для каждой
струны L. Мы более детально
Рис. 1.11. Мировая поверхность с одной налетающей и одной уходящей
струной (изображенная на рис. а) может быть описанным в тексте способом
конформно отображена во многие другие фигуры. Ее можно отобразить в
плоскость (рис. b), иа которой налетающая струна появляется в начале
координат, а уходящая струна - на бесконечности (не показано) или в сфере
(рис. с), где налетающая и уходящая струны появляются в южном
обсудим конформные отображения струнных диаграмм в последующих главах и
специально - в гл. 11.
Если мы конформно отобразим внешние струнные состояния в точки,
расположенные на конечном расстоянии, их квантовые числа не будут просто
утеряны. Для каждой точки, отмеченной знаком <8> на рис. 1.10, в которую
отобразилось внешнее струнное состояние, должен появиться некоторый
локальный оператор с квантовыми числами этого струнного состояния. Таким
образом, мы приходим к идее, что для каждого струнного состояния мы
должны найти некоторый локальный оператор в (1 + 1)-мерной квантовой
теории поля, описывающий распространение струны. Локальный оператор,
который при этом соответствует данному струнному состоянию |Л>,
называется "вершинным оператором" для испускания и поглощения состояния
|Л>. Эти вершинные операторы оказываются очень полезным инструментом.
f
6)
с) f
и северном полюсах.
1.4. Взаимодействия струн
49
Не претендуя на строгость, попытаемся просто угадать вид приемлемых
вершинных операторов в случае замкнутых струн. Прежде всего для каждой
частицы типа Л в теории замкнутых струн найдем локальный оператор Wa (ст,
т), являющийся скаляром относительно репараметризацией а и т (так как нет
предпочтительной репараметризации, см. рис. 1.10) и имеющий те же
лоренцевские квантовые числа, что и Л; WA будет полиномом по XIх и его
