Теория суперструн. Том 1 - Грин М.
Скачать (прямая ссылка):
Среди всех возможных типов суперструнных амплитуд при Z) = 10 именно
амплитуды в бозонном секторе суперструны RNS более всего напоминают
амплитуды в теории D = 26 бозонной струны. Но даже здесь появляется целый
ряд новых вопросов, связанных с наличием в теории калибровочных
7.3. Суперструны в формулировке RMS
435
G-симметрий, порожденных суперсимметрией на мировой поверхности струны. В
точности как и в 26-мерном случае, мы можем определить древесную
амплитуду формулой
и показать, что при подходяще определенных V, А и |<р> она будет
удовлетворять требованиям древесной унитарности и циклической симметрии.
В нашем случае условие древесной унитарности означает, что связанные с
полюсами промежуточные состояния должны удовлетворять не только обычным
дополнительным условиям, ассоциированные с вирасоровскими генераторами
Ln, но еще и тем условиям, которые порождаются суперконформ-ными
генераторами G,.. Кроме того, в нашем анализе будет участвовать и еще
одно новое понятие, вовсе не имеющее аналогов случаю бозонных струн.
Описывая в гл. 4 фоковское пространство состояний суперструны, мы
воспользовались тем способом, который представлялся нам наиболее
естественным, но оказывается, однако, что существуют и другие,
эквивалентные способы описания теории, известные под названием других
"картин". Более того, само доказательство циклической симметрии древесной
бозонной амплитуды (7.3.1) требует подключения двух различных картин,
обозначаемых Pi и Рг, эквивалентность которых, естественно, тоже надо
доказывать. Pi-картина удобнее для демонстрации циклической симметрии, в
то время как Рг-картина лучше подходит для доказательства того, что все
полюсы действительно соответствуют физическим состояниям.
Та формулировка бозонного сектора суперструн, которая содержалась в гл.
4, использует картину, обычно обозначаемую как р2. В этой картине
волновое уравнение ее (L0-1/2) |ф> = 0, а дополнительные условия для
физических состояний суть *Gr | Ф> = 0 при г> 0. (Отсюда следует и /,"|ф>
= 0 при п > 0.) По аналогии с конструкцией разд. 7.1.1 естественно в
таком подходе определить пропагатор как
Если, кроме того, мы потребуем, чтобы вершинные операторы (физических
состояний имели конформную размерность /=1, тогда, в точности повторяя
предыдущие рассуждения, мы можем заключить, что промежуточные полюсы
удовлетворяют условиям для Ln. Однако условия, порожденные операторами
Gr, более сильные, а значит, на физические вертексы надо налагать
дополнительные ограничения. Возможный вариант был предложен в разд.
4.2.3, где мы ввели физические вертексы для построения алгебры
порождающий спектр, которая в свою оче-
Ам = <Ф] I ^ (2) AF (3) .. . AF (М - 1) | Фд ) (7.3.1)
(7.3.2)
436
7. Древесные амплитуды
редь использовалась при доказательстве теоремы об отсутствии духов. Сами
же дополнительные ограничения заключались в; том, что должен существовать
некоторый оператор W конформной размерности 7 = 1/2, такой, что V
представим в виде
V = {Gr, W} (7.3.3>
для всех г. Отсюда прямо следует, что V имеет размерность J = 1, так что
условия для Ln несомненно выполняются. Для испускания G-четных состояний
(удовлетворяющих условию1 GSO) оператор W будет фермионом на мировой
поверхности, а
V - соответственно бозоном. С другой стороны, для G-нечетных
состояний W-бозон, а V - фермион, так что антикоммутатор' в (7.3.3) надо
заменить на антикоммутатор. Поскольку G2r = L2r, то из (7.3.3) следует,
что
[Gr, V\ = [L2n W], (7.3.4))
а из V = [Gr, W\ - что
{Gr, V} = [L2r, W]. (7.3.5)
Для доказательства древесной унитарности необходимо показать, что
шпурионные состояния не дают вклада в физическое
дерево, т. е.
(<р | GrV (2) ЛУ (3) ... ДУ (М - 1) | <рм) = 0, г > 0, (7.3.6>
где состояние <ф| аннигилируется оператором L0-1/2 +г, а в остальном
произвольно. Для доказательства мы будем перетаскивать Gr направо. При
этом в коммутаторном слагаемом мы заменим [L2r, Щ на
(b2r-Lo-r + ±)W-W (L2r - L0 + у) = 0, (7.3.7)
что возможно в силу условия массовой поверхности для <ф| и принципа
сокращенного пропагатора. Обращение же комбинации (7.3.7) в нуль прямо
следует из условия, что W имеет размерность 7 = 1/2. Следующий шаг
состоит в том, чтобы перенести GT через пропагатор с помощью формулы
Gr Lo - i/2 ~ -U + r-ip °г' (7.3.8)
Далее можно в точности таким же образом перетаскивать Gr последовательно
через следующий вертекс и следующий пропагатор и так далее, пока он в
конце концов не аннигилирует состояние | ф мУ-
7.3. Суперструны в формулировке RNS
43 Т
Трудности с картиной F2 начинаются в тот момент, когда мы переходим к
доказательству циклической симметрии амплитуд. Дело в том, что в этой
картине формулы типа (7.1.28) и (7.1.29) уже несправедливы, их аналогами
будут
|фуи>= lim Ум1^ {kM> Ум) 1°'> °) (7.3.9)
ум^°
<Ф,1 = lim <0; 0|y^W(kv уХ (7.3.10).
У 1->оо
а значит, вместо (7.1.30) мы получаем выражение, в котором М - 2
состояния представлены операторами V, а два оставшихся- операторами W.
