Теория суперструн. Том 1 - Грин М.
Скачать (прямая ссылка):
получится вдвое больше, чем для открытых струн, поскольку г теперь
комплексные, но, поскольку и число параметров теперь равно шести, а не
трем, то нужное отображение всегда найдется. Кроме того, для получения
SL(2, С)-инвариантной амплитуды мера должна преобразовываться следующим
образом:
м
d^M (2) = d^M (2') |-4. (7.2.24)
i=i
С помощью тех же выкладок, которые были описаны в случае открытых струн,
мы легко убеждаемся в том, что разумно выбрать
dv-м (г) = - zB |2 | 2Л - 2С |2 | zB - zc |2 X
м
X б2 [гА - 2°) 62 (2В - г%) 62 (2С - 2") П d% (7.2.25)
с произвольно фиксированными индексами Л, В и С и значениями координат
z°A, z°B, z°c. Операторная формула (7.2.7) отвечает специальному выбору
z°1 = oo> 2°=1 и z°M = 0. Угловая (фазовая) часть интегрирования по z
обеспечивает выполнение условий Lo = ?о во всех полюсах. Это прямо
следует из наличия в (7.2.5) интеграла по о, который гарантирует
отсутствие какой-либо выделенной точки на поверхности струны.
В качестве частного примера рассмотрим амплитуду рассечения М тахионов
замкнутой струны. В используемых нами единицах (а'=1/2 для открытых
струн) главная траектория Редже для замкнутой струны есть a (s) = 2 +
s/4. Это описывает безмассовое состояние, отвечающее тахиону, в теории с
a(s) = = 0 при k2 = -s = 8. Аналогично имеется состояние со спином два
для a(s) = 2, у которого k2 = 0, и оно соответствует безмас-
430
7. Древесные амплитуды
совому гравитону. Для получения амплитуды надо просто отождествить и 1м,
и 1м с 1м из теории открытых струн, что дает
Ам = 4л \ d\iM (г) П|^-zi I(7.2.26)
i<i
В частности, положив zx - оо, z2 = 1, z3 = z и z4 = 0, мы получаем при М
= 4
А4 = ^ J \z\k 'k>n | 1 -z\kyk'l2d2z. (7.2.27)
Интегралы такого типа вычисляются в явном виде подстановкой представления
оо
1 г |_Л = TWW S/Л/2 ехр ("11212) dt (7-2>28)
и аналогично для |1-z\~B. После такой подстановки интеграл по z
становится гауссовым и легко берется. Остающиеся интегралы по t беруется
с помощью формулы (7.1.63) для бета-функции Эйлера. А именно,
/= J |2|-л[ 1 - г\~В(Рг =
оо
'7дадаг1'''л',ы"х
где
X $ dx dyexp {- t (х2 + г/2) - и [(1 - х)2 + г/2]} =
- оо
оо
Я f dtdu И/2-1 В/2-1 (
Г (А/2) Г (В/2) ) t + и1 Р V. t + u )
о
г(1и + Д)-,) ! ю
л Г (А/2) Г (В/2) С1 )
о
в0 -Т' 1 -Т' (7-2-29}
г> I l \________ ________Г (а) Г (6) Г (с)_______ /у л ог)\
5 (а, Ь, с) - л Г(а + 6)Г(6 + с)Г(с + а) • ( • ,3°)
7.2. Замкнутые бозонные струны
431
Применяя эти формулы для вычисления (7.2.27), учтем, что
k3-ki = -i-s -8, k2-k3 = - \t - 8 (7.2.31)
и
s + t + u = Yum = -32, (7.2.32)
и в результате
= -уа("))' (7.2.33)
т. е. мы получили формулу Вирасоро. Напомним, что траектории Редже имеют
вид a (s) =s/4 + 2 и удовлетворяют тождеству a (s) + a (t) + а (и) = -2.
Эта формула явно кроссинг-симметрична, и нетрудно проверить, что при
a(s), a(t), а (и) = 0, 2, ... у нее имеются полюсы, соответствующие
основному тахионному состоянию (при s = = -8, t = -8 или и = -8) и
бесконечной серии возбужденных состояний. Асимптотическое поведение этой
амплитуды при высоких энергиях (5 -> оо и t фиксировано) легко получить
из формулы Стирлинга (которая обсуждалась в гл. 1 в связи с формулой
Венециано для открытых струн)
Г (а) ~ л/2п aa~i,2e~a. (7.2.34)
При | а | ->¦ оо эта формула справедлива для любого направления в
комплексной а плоскости, за исключением отрицательной вещественной оси.
Применяя ее к (7.2.33) при |s| ->-оо, и ~ -s и фиксированном t, получаем
реджевское поведение:
Л4 4 Г (1 + а (t)/2) V 8 У
при s, сколь угодно мало удаленных от вещественной оси. Для физических,
т. е. вещественных положительных значений s, этот древесный результат
следует интерпретировать так же, как и в модели Венециано, в смысле
среднего значения, поскольку на вещественной оси амплитуда все же имеет
полюсы. При учете петлевых эффектов эти полюсы сдвигаются с вещественной
оси.
Вопрос о калибровочной инвариантности амплитуд замкнутой струны упирается
опять-таки в вопрос об отщеплении состояний с нулевой нормой в древесных
диаграммах. Рассмотрим, например, диаграмму с продольно поляризованным
гравитоном с импульсом № (отождествим его с частицей № 2 на рис. 7.10).
Произвольный продольно поляризованный тензор можно представить в виде
линейной комбинации членов типа = k
432
7. Древесные амплитуды
где k2 - 0 и ?-fe = 0. Соответствено вертекс, описывающий испускание
продольно поляризованного гравитона, имеет вид
V (k, т) = ± J dok^XZ (т - a) ZJI (т + а) =
= (eik'XR (Т~а)) Sv^ (т + ст) elk-XL (%+а). (7.2.36)
Будучи вставлена в любую из диаграмм рис. 7.10, производная по т
сокращает пропагатор в точности так же, как и в случае амплитуды открытой
струны. Однако для каждой из диаграмм в отдельности результат остается
ненулевым из-за наличия второго вертекса, который, хотя и берется при том
же значении т, но отличается значением ст, а в определения вертексов
входят независимые интегрирования по всем значениям ст. Но в полной
