Теория суперструн. Том 1 - Грин М.
Скачать (прямая ссылка):
5.3.1. Открытые суперструны
Граничные условия открытой струны оставляют по одному набору бозонных и
фермионных мод, отвечающих стоячим колебаниям на струне. Кроме того, они
ограничивают возможную суперсимметрию до N = 1. На концах открытой струны
304
5. Пространственно-временная суперсимметрия
можно поместить заряды, отвечающие группе внутренней симметрии,
посредством процедуры, описанной в первой главе, и мы продолжим ее
исследование в гл. 6. Там мы покажем, что в результате для
ориентированных струн возникают группы U(n), а для неориентированных -
группы SO(n) или USp(ti). В обоих случаях безмассовые состояния
оказываются в присоединенном представлении соответствующих групп. Однако
в этом разделе мы будем опускать квантовые числа, связанные с этими
группами.
Мы начнем с анализа безмассового сектора, который в силу отсутствия
тахионов представляет собой основное состояние рассматриваемого спектра.
Как показано в разд. 4.3.2, RNS-струна в калибровке светового конуса
содержит восемь безмассовых бозонов, которые образуют поперечный вектор
6'11/2|0), а безмассовые фермионы описываются 16-компонентным
майорановейлевским спинором и(р), необходимым для представления алгебры
матриц Дирака. Однако если выполнено уравнение Дирака у-ри-0, то лишь
половина фермионных степеней свободы, отвечающая, например, представлению
8С группы spin (8), реально распространяется. Таким образом, остается в
точности по восемь бозонных и фермионных мод, что буквально соответствует
спектру десятимерной суперсимметричной теории Янга - Миллса.
Рассмотрим еще раз безмассовый спектр, возникающий в суперсимметричной
формулировке. Основное состояние должно задавать представление алгебры
{5", So} = &аЬ в обозначениях группы spin (8). Вследствие триальности
(см. приложение 5.А) этого можно добиться, действуя в точности так, как
мы действуем в приложении 5.В, представляя алгебру Клиффорда:
При таком выборе пространство представления оказывается прямой суммой 8V
+ 8C, образующих полный супер мул ьтиплет, который в RNS-струне собирался
из двух независимых секторов. Найдем теперь фоковское представление для
этого 16-мерного мультиплета безмассовых основных состояний.
В этом мультиплете, который мы обозначим |<р0>, содержится восемь
бозонных состояний ]i>, преобразующихся по представлению 8V группы
spin(8), и восемь фермионных состояний |а>, преобразующихся по
представлению 8С. Они нормированы следующим образом:
(5.3.1)
(i\j) = 6u, (а\Ь) = ды;
(5.3.2)
5.3. Анализ спектра
305
единичный оператор в пространстве представления So есть
/ = М){;Ша>{а|. (5.3.3)
Для дальнейшего анализа свойств операторов So полезно иметь в виду
"тождество Фирца"
SoSo = у {So,'So} + j [Sao, So6] = у 6а6 + ±SWJjSWJb, (5.3.4)
которое можно проверить, например, умножив обе части на и
воспользовавшись свойствами матриц уа приведенными в приложении 5.В.
Отметим, что единственный (не считая 6'7) независимый тензор, который
можно построить из двух операторов S0, - это тензор
*5'=4зy;bsl (5.з.5)
Он представляет собой часть оператора iK.^ (см. формулу
(5.2.45)), отвечающую нулевым модам, и, следовательно, удовлетворяет
перестановочным соотношениям
[R'0I, Я*'] = б"Ri0k - б+ б/*/?" - 6i'R'0k. (5.3.6)
Сравнивая эту формулу с аналогичной формулой для КУ, приведенной в разд.
4.3.1, мы видим, что -ЩЦ - это оператор, вращающий спин состояния, но не
меняющий числа возбужденных мод. В частности, безмассовое векторное
состояние должно преобразовываться по формуле
Ry\k) = 6ik\i)-6ik\j), (5.3.7)
а безмассовое спинорное - по формуле
Щ\а) = -±у{1.\Ь). (5.3.8)
Тот факт, что оператор So отображает состояния <i> и |а> друг в друга,
записывается в следующем виде:
S|i>"
(5.3.9)
Чтобы проверить нормировку в этих формулах, надо подействовать на обе
части оператором So и с помощью (5.3.4) сравнить результат с (5.3.7) и
(5.4.8).
Удобно сопоставить каждому из этих состояний физическую волновую функцию.
В конусных координатах 16-компонентный
306
5. Пространственно-временная суперсимметрия
майорано-вейлевский спинор представляется в виде (иа, ий). Как показано в
приложении 5.В, уравнение Дирака в этом базисе записывается в импульсном
представлении следующим образом:
k+ua + у* .k'ud = 0,
й i I а (5.3.10>
k-ua + y'dak'ua = 0.
Поскольку в конусных координатах k+ = id/dx не есть производная по
времени, то первое из этих уравнений представляет собой связь, которая
позволяет выразить иа через ий:
ua = -1±ryiadkiu*. (5.3.11>
Таким образом, восьми физическим степеням свободы соответствует восемь
компонент м", которые удовлетворяют уравнению, получающемуся после
исключения и°, а именно просто уравнению Клейна - Гордона k2 - 0.
Состояние | и) определяется формулой
\и) = \а)ий(1г)/л/кт. (5.3.12>
Волновая функция для векторного состояния есть просто вектор поляризации
?,1(&), который удовлетворяет физическим условиям k2 = 0 и уравнению
?•*(*) *" = (). (5.3.13)
Соответственно в калибровке светового конуса получаем
