Квантовая электродинамика - Грибов В.Н.
ISBN 5-93972-089-7
Скачать (прямая ссылка):
электродинамика, тогда
Tab = Т~ш
(|Ь), |а) - состояния с противоположными спинами). Но, как мы обсуждали
выше, всегда можно выбрать базис так, что в нем
Tab = ТЬа.
При этом (3.58) примет вид:
-i[Tab - Tab] = ТьсТса,
с
т. е.
1шГаЬ = ^ТасТД. (3.59)
С
А отсюда следует, что амплитуда не может быть вещественной, т. е. сразу
видно, что наши борновские амплитуды, наверняка, неточны, поскольку
вещественны. Особенно ясна комплексность амплитуды при рассеянии вперед,
т. е. при а = Ь:
ImTaa = i^|Tac|2. (3.60)
3.2. Причинность и унитарность
183
Соотношение (3.60) носит название оптической теоремы:
- мнимая часть амплитуды рассеяния вперед пропорциональна полному
сечению рассеяния.
Таким образом, условие унитарности требует, чтобы амплитуды рассеяния в
физической области были комплексными.
Вернемся к нашему примеру Комптон-эффекта для фотона (с малой массой Л).
Физическая область на манделыптамовской плоскости - это заштрихованная
часть (см. рис. 21).
Полюса амплитуды лежат на пунктирных линиях, отвечающих s = га2, и = га2.
На комплексной плоскости ко картинка будет выглядеть так (рис. 22).
Физические области отмечены жирными линиями. Полюса борновской амплитуды
отмечены крестиками.
Выясним теперь, имеют ли борновские амплитуды хотя бы какое-нибудь
отношение к условию унитарности. Для этой цели распишем его подробнее. У
нас было
t
Рис. 21
Подставляя (3.61) в (3.59), получим
lmFab = \ Y. ад*6(2тг)4<5 - Y^Vc) П (3'62)
184
Глава 3. Общие свойства амплитуды рассеяния
ко
(помним, что в F выполняются законы сохранения), тогда lmFab =
_ 1 f • • • d3kn тт ^ т?( 7 7 \
- 2^У п!(2тг)3п П2*о< ^ )X
x F*(fc1;..., 6)(2tt)4<5(^ - ^>fe). (3.63)
Или, выражая d?k/2ko через d4kS+(k2 - rn2), окончательно получим Im Fab =
= ^2 J d4k\... d4knd+(kf - m2)... (5+(/c2 - m2) x
x FF'
(2тт)45(^кг -рь)
(2tt)
3 n
(3.64)
Множитель 1 /гг! в (3.63), (3.64) учитывает тождественность частиц. В
случае рассеяния вперед (a ~ b) из (3.64) видно, что ImFa^ отличается от
полного сечения множителем
4:E1E2j 4 y/sp
3.2. Причинность и унитарность
185
(а также общим множителем 1/2). Учитывая, что
. = _Р_Р_ = pVs
Ei Е2 Ei Е2 '
получим
LxlF(s,0) = 2\fsp<7t. (3.65)
Это и есть оптическая теорема. Выражение (3.64) будем писать в
символическом виде:
lmF = Y,FnF*n-
П
Рассмотрим теперь борновскую амплитуду
е2
В свое время мы писали соотношение
---------= Р-Ь iir5(x),
х - is х
так что
е2
1ш- ------------= е27г 5(s - m2). (3.66)
m - s - is
Точное же значение мнимой части дается (3.64), и мы можем ее изобразить
графически (аналогично изображению сечений) так:
%
ImF
все, что угодно
В промежуточных состояниях частицы реальные и поэтому, например, одного
электрона в промежуточном состоянии быть не может. Однако рассмотрим
формально вклад в мнимую часть от одноэлектронного промежуточного
состояния, т. е.
186
Глава 3. Общие свойства амплитуды рассеяния
и
т. е.
ImF22 = у J Al^2i|2%2 - m2)S(p + k - q),
ImF22 = tt\F2i\2S((p + к)2 - to2).
(3.67)
Таким образом, бориовское приближение в определенном смысле удовлетворяет
условию унитарности, а именно, в том смысле, что его мнимая часть
определяется вкладом одноэлектронного промежуточного состояния.
В принципе, одноэлектронное промежуточное состояние может давать вклад в
мнимую часть амплитуды совершенно "честным" образом. Рассмотрим,
например, процесс перехода трех частиц в три:
В мнимую часть амплитуды такого процесса войдет, в частности,
Электрон, отмеченный крестиком, может быть реальным (это не запрещено в
данном случае законами сохранения), и за счет такого промежуточного
состояния мы получим вклад в мнимую часть без противоречия с законами
сохранения. Но, с другой стороны, из всей суммы для мнимой части (3.66)
отвечает только первому ее члену. Посмотрим, плохо это или нет.
Усложнение диаграммы на одну вершину приводит к множителю е, и если
\
\
/
F =
\
/
~ е2, то ImF =
П
Если рассмотреть вклад от промежуточного двухчастичного состояния (п =
2), то порядок величины правой части е4, для п = 3 мы получили
3.2. Причинность и унитарность
187
бы е6 и т.д., а слева - ImF ~ е2, т. е. такие вклады и не должны
появляться. И единственный вклад - это
1т_Р = F2iF^2 ^ б2.
Таким образом, борновские амплитуды позволяют вычислять мнимые части
амплитуд более высокого порядка в силу соотношения унитарности. Например,
в мнимой части амплитуды
-X-
е4+
-х-
Если, допустим, хотим вычислить ее с точностью до е , пренебрегаем
членами порядка е6 и выше, а все амплитуды, входящие в первую диаграмму,
нам уже известны. Так можно найти мнимые части амплитуд в высших
приближениях во всех областях манделыптамов-ской плоскости. Однако, чтобы
знать всю амплитуду, нужно знать еще и реальную часть, и здесь нам на
помощь приходит аналитичность амплитуды, которая позволяет вычислить
вещественную часть по мнимой.
По теореме Коши, имеем
(3.68)
контур интегрирования приведен на рис. 23.
С другой стороны, мы можем пренебречь интегралами по большим кругам и
