Теория поглощения и испускания света в полупроводниках - Грибковский В.П.
Скачать (прямая ссылка):
(2.1) может быть представлена в виде произведения двух функций
T(rJfRe)=^(r„ Ra)g(Re),
одна из которых с (Ra) описывает медленное движение ядер, а вторая ? (г;, Ra) лишь параметрически зависит от координат ядер. Тогда (2.1) распадается на уравнение для электронов
? = ЕМ ? (2.3)
2т 2 i 1Ф1ги
и уравнение для ядер
Va + v0 (Ra) + Еа (Re) 11 (Ra) = El (Ra). (2.4)
-V h2 2 - 2j------r
a 2M0
Обычно движение ядер, т. е. тепловые колебания решетки, рассматривается как возмущения, а в уравнение (2.3) вместо координат ядер подставляют координаты неподвижных узлов решетки. Однако и после этого уравнение Шредингера решить
27
нельзя. Решение становится возможным только тогда, когда задача о движении многих взаимодействующих частиц сводится к задаче о движении одного электрона в поле всех остальных частиц. Это достигается путем введения так называемого самосогласованного поля
^ i f-i rij
которое равно потенциальной энергии всех электронов, за исключением i-ro, в той точке, в которой расположен i-й электрон. С помощью ?2г(Гг) гамильтониан системы представляется в виде суммы гамильтонианов, относящихся к отдельным электронам
п ^ Г рл
Н
?ff'=?{~?rvf+n,+t,,(r4
а волновую функцию в (2.3) можно искать как произведение
^ (ri) = % (fl) ^ (Г2> “Фз (гз)>
где ’Фг(Гг) относится к i-му электрону.
Таким образом, уравнение (2.3) распадается на систему независимых уравнений типа
й2
V2 + K(r)
2 т
Ф (г) = (г). (2-5)
где в V (г) объединены И (г) и Q (г).
Решив уравнение (2.5), находят совокупность принципиально возможных состояний для каждого из электронов кристалла. Применив затем статистические методы расчета, легко определить фактические распределения их по состояниям.
Поскольку внутренние поля в кристалле одинаковы в идентичных точках решетки, потенциал V(r) будет периодической функцией и будет обладать всеми теми же элементами симметрии, что и сама решетка. Это дает возможность исследовать ряд закономерностей движения электронов в общем виде. Однако до рассмотрения свойств реального трехмерного кристалла необходимо остановиться на некоторых более простых моделях вещества.
Модель Зоммерфельда. Плотность состояний. Исторически первая и наиболее простая квантовомеханическая модель твердого тела была предложена Зоммерфельдом. Он считал, что потенциальная энергия электрона внутри кристалла везде постоянная, а на поверхности имеется достаточно высокий потенциальный барьер. Электроны, свободно перемещаясь в кристалле, не могут его покинуть, так как их удерживают
28
силы отталкивания от барьера. Уравнение Шредингера (2.5) для одного электрона при постоянном К(г) = l/=const можно представить в виде
9т
v2^ (X, у, г) + — (Е — V) ф (х, у, z) = 0. (2.5а)
п
Поскольку величина потенциальной энергии зависит от выбора начала отсчета, то для простоты положим V=0 внутри кристалла и К>0 на его поверхности.
Если волновую функцию искать в вице произведения
Ф (Х> У> Z) = I’l (Х) (У) (2),
то (2.5а) распадается на три независимых уравнения и задача сводится к решению уравнения типа
-^^-+kU(x) = 0, (2.6)
dx1
где
kx = Y2mElh. (2.7)
Легко убедиться, что уравнению (2.6) удовлетворяют функции e‘kxxt е~1кхХ, а общее решение равно [2,42]
¦ф (х) == Aekx* + Be i!<xX = (А + В) cos (kxx) - \-
+ i (А — В) sin (kxx). (2.8)
Вероятность обнаружить электрон в интервале от х до x-{-dx пропорциональна |г|) (х) |2dx. При V->oo электроны не могут покинуть кристалл, и, следовательно, за-пределами кристалла ф(я) тождественно равно нулю. Тогда из требования непрерывности решения уравнения Шредингера во всем пространстве следует, что 'ф(х) на границах кристалла х = 0 и x — L также равно нулю. Налагая эти граничные условия на (2.8), получим
В = — A, sin (kxL) — 0, kx = nx-j-,
¦фп (х) = i2A sin (kxx) — 2iA sin |x j-
Здесь nx — любое целое положительное число.
Собственные значения энергии, соответствующие вым функциям г|)п(х), согласно (2.7) и (2.9), равны
„ h2kl n?rixfi2 _ р2х
хп ~~ 2tn ~~ 2mL 2т ’
где рх = hkx — импульс электрона.
(2-9)
(2.10)
волно-
(2.11)
29
Т*аким образом, энергия электрона, запертого в потенциальном ящике, обладает дискретным рядом значений.
Умножая (2.10) на exp (iExnfjh), получим волновую функцию, зависящую от времени t:
Она описывает стоячую волну с частотой сon = Exnjh и узлами в точках x = mLlnx, где т = 0, 1, 2, ..., пх. Аналогичные волны устанавливаются на закрепленной с обоих концов струне.
Вместо использованных выше граничных условий -ф (0) = = x|)(L)=0 на функции обычно накладывается требование периодичности Борна — Кармана
где L — Na равно большому числу N постоянных решетки.
Условия цикличности Борна — Кармана вводятся для того, чтобы избежать рассмотрения граничных условий, в которые в явном виде входят размеры кристалла, поскольку ясно, что при больших значениях N физические процессы в твердом теле не должны зависеть от его геометрии. Если рассматривается трехмерный случай, то число N должно быть большим во всех трех измерениях.
Тогда решение уравнения (2.6) можно брать просто в виде
считая, что kx принимает и положительные, и отрицательные значения. Из условия периодичности применительно к (2.14) следует
