Теория поглощения и испускания света в полупроводниках - Грибковский В.П.
Скачать (прямая ссылка):
39
было* доказано путем прямых расчетов зависимости Е от к (см. рис. 9). Более строгое доказательство равенств (2.40) приведено в [10].
Зоны Бриллюэна. При рассмотрении одномерной модели Кронига и Пенни было введено понятие зон Бриллюэна. Так как периодичность волновых функций и энергий в пространстве обратной решетки характерна и для движения электрона в реальном кристалле, то зоны Бриллюэна вводятся и для трехмерного к-пространства.
В общем случае под первой зоной Бриллюэна или просто зоной Бриллюэна понимают совокупность всех неэквивалентных векторов к, ни один из которых нельзя укоротить путем добавления к нему какого-либо вектора трансляции обратной решетки bg. Следовательно, если к короче всех эквивалентных ему векторов, то он лежит внутри первой зоны Бриллюэна. Вторую зону Бриллюэна образует совокупность всех неэквивалентных векторов, которые выходят за границы первой зоны, но не могут быть укорочены путем добавления bg. Аналогичным образом определяются последующие зоны.
Можно показать [10], что векторы кгр, лежащие на границе зон Бриллюэна, удовлетворяют следующему простому соотношению:
В двух- и трехмерной кристаллической решетке границами зон будут соответственно отрезки прямой или плоскости, перпендикулярные к векторам hg. В одномерном случае Ьгкгр =
Для построения зон Бриллюэна в общем случае в одном из узлов обратной решетки выбирается начало координат для вектора к, где к=0 и bg = b0=0. Из начала координат к ближайшим узлам решетки проводятся векторы bg. Плоскости, проходящие через середины этих векторов и перпендикулярные к ним, ограничивают первую зону Бриллюэна. После этого проводятся векторы bg к следующим ближайшим узлам и перпендикулярные к bg плоскости. Между плоскостями, ограничивающими первую зону, и новыми плоскостями заключены объемы k-пространства, которые в совокупности образуют вторую зону Бриллюэна.
Процедура построения зон особенно наглядна в случае двумерной квадратной решетки [38]. Как видно из рис. 11, а,
(2.41)
а
я
2 п
а
±
Зл
а
40
Рис. 11. Первые три зоны Бриллюэна для квадратной решетки (а), первые зоны Бриллюэна для простой объемноцентрированиой (б) и гранецентри-рованной кубических решеток (в)
первая зона Бриллюэна представляет собой квадрат, а вторая и третья состоят из 4 и 8 отдельных треугольников соответственно. Перемещая треугольники на одну постоянную решетки b по направлению к началу координат, их легко уложить на центральный квадрат, т. е. совместить вторую и третью зоны Бриллюэна с первой. Это доказывает идентичность всех зон Бриллюэна. Из сравнения рис. 1, в и 11, в видно, что первая зона Бриллюэна строится так же, как ячейка Вигнера — Зейтца [47—49].
Классификация электронных состояний. Для электрона Бодородоподобных атомов, движущегося в центрально-симметричном поле, классификация на s-, р-, d- и т. д. состояния производится довольно просто, поскольку волновая функция, удовлетворяющая уравнению Шредингера, представляется как произведение радиальной и сферической функций, зависящих от разных переменных.
Трем степеням свободы электрона в атоме соответствуют три квантовых числа: главное ti= 1, 2, 3, ..., орбитальное 1 = 0,
1, 2, п—1 и магнитное т = 0, ±1, ±2, ±/. В атоме водорода энергия электрона определяется только главным квантовым числом я не зависит от / и т. Это означает, что уровни энергии вырождены — одной и той же энергии соответствует несколько состояний движения. В спектроскопии эти состояния обозначаются буквами s, р, d, f, ..., что соответствует значениям I, равным 0, 1, 2, 3... Если симметрия поля нарушается, то вырождение снимается и каждый уровень расщепляется на несколько подуровней.
Для сложных молекул классифицировать электронные состояния уже труднее, а сама классификация часто носит условный характер [50].
Классификация электронных состояний в кристаллах исключительно громоздка. В полном объеме она излагается только в специальных книгах [10]. В основе классификации лежит теорема, согласно которой волновая функция и энергия электрона в зоне Бриллюэна обладают симметрией всей точечной группы кристалла. Поэтому классификация производится чаще всего методами теории групп [51—53].
Под группами симметрии кристалла понимают совокупность операций, которые переводят кристалл сам в себя. Так, группа трансляций — это всевозможные перемещения кристаллической решетки на вектор ап, выраженный формулой
(1.1). Эта группа является частью общей пространственной группы кристалла, куда входят и другие элементы симметрии: вращения, отражения и сочетания вращений и отражений с трансляцией не на целую часть постоянной решетки щ (винтовые оси и плоскости скольжения).
Каждый элемент группы симметрии может быть представлен в виде матрицы [10]. Например, поворот системы координат на угол а вокруг оси г в направлении правого винта можно выразить формулой
где (я, у, z) и (х', у', г') — старые и новые координаты некоторой фиксированной точки.
Если путем унитарного преобразования матрицу можно представить в таком виде, что все ее элементы будут равны нулю, за исключением квадратных блоков тг- вдоль диагонали:
