Динамические контактные задачи с подвижными границами - Горшков А.Г.
ISBN 5-02-014700-1
Скачать (прямая ссылка):
возможны лишь на прямых х(>. = 0, х.(т) = 0, г = xQ.
г + 9jtVo,- = ПРЯМЫХ т = ^7^.1 х0/1 напРяжения азз0(х> Щ
непрерывны, так как непрерывны функции А(х, т) и S(x, г). При*
этом справедливы равенства: *
S10(x, Ixl) = Sk[(x,7]k\x\) = 0 (/=1,2,3). (4.60)!
В силу симметрии задачи достаточно рассмотреть х > 0 и соответственно
множества xQ2 = 0, х2(т) = 0 и г + Virv0xQ2 = 0-
Для функций, входящих в формулы (4.47) - (4,51), (4.55), (4.56) и (4.58),
имеем следующие представления:
г + Vr2 - 1)2х2 In--------, - = -lnlxl + 0(1),
77,1x1
= ~ + 0(х) (х -* 0),
5Л1(х, т) = -ак 1п 1x1 +Ук^2+Рк^ + 0(1) (х-* 0),
(г2 - fay*
Щт
~Y~ + О(х) (х -* 0),
(4.61)
Sk2(x, х) = - In 1 X + V
sl0(x'*) = л + 0(1)
н--
" 2
Sk3(x,x) = л + 0(1)
н--
" 2
(х -" ±0),
х -*
Ьуо
+ О
176
I
I
Учитывая формулы (4.61), найдем, что на прямых г +
Л
+ ti^VqXq. = О напряжения т) непрерывны. Разрывы на
прямых Хд. = 0 связаны только с наличием особой точки на
границе клина и не зависят от скорости расширения области контакта при vQ
> О и aQ & 0:
V 2("2 - п
a33o(X' Т) = V--------4 1п 1 *0211 + °М (*02 °)- (4-62)
О щ
Для клина без среза (а() = 0) обе прямые А'0) = 0 и
= 0 совпадают и соответствуют центральной точке х = 0.
Характер особенности сохраняется. Однако в соответствии с формулами
(4.59) коэффициент в (4.62) удваивается:
vo 4(л2 - 1)
а33о(х, г) = ---------^-In 1x1 +0(1) (х -* 0). (4.63)
Поведение напряжений в окрестности границы области контакта
существенно зависит от скорости ее изменения
при 0 < < 1
V
7ззо(*'т) = ~ТГг===г1п ,*7-1 + °(1)
щ V 1 - vQ
А =
R2l{v\, 1), 0 < vQ < l/tj,
\(vq)' Xlrl ~ \
(4.64)
R2l(l/y2, 1) = Л0(1/"7) = l; при VQ = 1
V0A(l)V2V
a33o(X' T) =---------TP-" + °<'1^ +0^' (4'65)
TIT] Vx2
при vQ > 1 (сверхзвуковой режим) напряжения ct33Q непрерывны на
прямой х.(т) = 0.
Здесь использованы функции R2l(x, г) и Л0(г>0), определенные
в формулах (2.63) и (4.47).
Для клина без среза (aQ = 0) формулы (4.64) и(4.65), а также
свойство непрерывности напряжений на границе области контакта
сохраняются. На критическом режиме = 1 асимптотическому
171
представлению (4.65) для напряжений в этом случае можно придать более
симметричный вид: j
При фиксированной области контакта (vQ = 0) прямые xQi - 0 и х.(г)
совпадают, и, как следует из (4.58) и (4.61),: особенность становится
неинтегрируемой: \
§ 4.4. Контактное давление /
для акустического полупространства j
при равномерном расширении области контакта j
Рассмотрим задачу о вертикальном погружении с постоянной J скоростью
У0 в акустическое полупространство симметричного;
клина со срезом. В рамках допущений, принятых в § 4.2 и 4.3, \ ее решение
может быть получено, как отмечено в § 1.6, из результатов § 4.3 с помощью
предельного перехода при г, -* ">. ; Из формул (4.48), (4.56) и (4.58)
для контактного давления I Pq(x, х) получим следующие результаты (aQ >
0): '
при 0 < vQ < 1, > 1
т) ------/гт-т + 0(1 > (г-*1x1+0). (4.66)
япЧ г - х
2W1)'
ЖТ,У Т - X'
Р0(х,т) = -<т330(х,т) =
^1
lim ~ =
7 -* оо Т]
lim ~ = 0:
q -* оо Т,
(4.68)
178
при VQ - 1
р0(х, Г) = VQH(r)H(a0 - 1*1) +
+ ^5; Щт- iV)
/= l
при vQ = О
Р0(х, т) = VQH(T)H(a0- 1*1)
V" 2
510^0/'Т) +
т~% г + *0.
(4.69)
_ it 2 я(т ~ |jc0ioarctg-х •
(4,70)
!=1 О/
Для случая внедрения клина без среза (а0 = 0) из (4.68) и
М.69) аналогично (4.59) получим при
0 < vQ < 1, Vq > 1
Р0(х, т)
V v 0 0
{h(t)H(v0 - \)[Н(а2 - 1*1)-
- Н(т + vQ(a0 - 1*1))] + ~ Я(т - l*l)[S;2(*, т)Я(1- vj +
+ S;3(*, t)H(vq -
