Динамические контактные задачи с подвижными границами - Горшков А.Г.
ISBN 5-02-014700-1
Скачать (прямая ссылка):
¦ !
4(х, Г) = Я(-х.(т))Я(1 - + т)кх0.) j Fk.(t) dt.
(4.27) I
0
160
г
Рис. 4.4. Функции /^.(0 ПРИ ¦*•(*) < 0:
e-Z^r) > 0, 6-fk.(0) < 0, /к. < о, e-'/Jo) < о, fki(0) > О, г"4г(0) >
4г(т) < °' 4;(0) < °' *~4<0) > 0> 4;(т) < °' 4/(0) > 0
2в) 4(0) > 0 и fk.(т) < 0. Тогда согласно (4.20) существует
единственный нуль t = т к функции fki(t):
hi^sk) = -1 + Vkv(rsk) = О,
(4.28)
4(0 > 0 (t е [0, т^)), 4(0 < 0 (z е (т^, т1).
6 А.Г.Горшков, Д.В.Тарлаковский
161
Отметим, что так как т}1 = 1 < tj2 = 17, то в силу монотая ного
убывания функции v(t) (см. (4.17)) справедливо неравенств!
(4.2"
X . > Т .. "2 si
В точке t = функция имеет строгий максимум. Пр| fki(0) < 0 и/й(д < 0
(рис. 4.4г), как следует из (4.20), (4.23 й (4.28), < 0 при t G
[0, т]. При fki(0) < 0 i
fki(rsk) > 0 (рис. 4.4г) существует два нуля t = т^.'3^ функцш №
№") -*- 'Г+ ^№>3)) - о*
0 < тФ < Т . < т[1> < г,
Ч;
. sk
(1)
ki
(4.301
/и(<) <0 (<е [0,т№), ,е (т<;>,.]),
/ь<о>" (<s (4М?)).
При /Л.(0) > 0 (рис. 4.43) существует единственный ну/ t = т^> функции
/^.(г), определяемый соотношениями (4.26)| Таким образом, в случае 2в)
интегралы 1^ равны
1к1(х, т) = Н(-х.(т))Н(т,кь0 - 1)Я(1 - V(r)> х
(О
Я(-т - >?^0.)Я(т - TjA + ^*.(т^)) J F,.(0 dt +
(3)
(4.31)
+ Я(т + 9лХц) / dt О
Рассмотрим вариант 3, определяемый соотношениями (4.21) и
(4.22). При f/JO) < 0 (рис. 4.5а) с учетом (4.23) навдем, что
функция fk.(t) имеет нуль t - на интервале (0, тш) и нуль
t = rg) на интервале (т0(., г). При этом справедливы неравенства:
tu(f)< 0 (<е[0,^3)). 'е (^?.*]). 4">0 (,е (т(r)42)))-
(4.32)
162
a fir
Рис. 4.5. Функции fjjf) при < 0 и лг^т) > 0: а-4г(°)'< 0,
6-fkf0) > О
При / (0) > 0 (рис. 4.56) существует единственный нуль t = rg)
функции /^.(0" и справедливы неравенства:
v">0 (,е[°-'!?))• 4"><0 (,е ('L2''1])' (4-33>
О < х<?) <
г.
К1
Таким образом, в варианте 3 интегралы 1^ имеют вид !к.{х, т) = Я(-
х0.)Я(х.(т) х
ki
Ы
н(-т - Ук\) J Fki(t) dt + Щх + rjkxQ.) J Fk.(t) dt СЗ)
О
(4.34)
Окончательно из формул (4.25), (4.27), (4.31) и (4.34) для интегралов
1^. в формулах (4.15) для напряжений ош получим
1к.(х, х) = #(*.(т))
ТР) ki
Н(х ~ Ук\хт\) J Fk.(t) dt +
О
+ H(-XOi)H(r)k\xoi\ - х) f Fki(t)dt +
"fi>
(4.35)
+ Я(-х(г))Я(1 - rjkv{x))\н(х - Vk\x0.\) j Fk.(t) dt +
0
Пределы интегрирования в (4.35) определяются как коре уравнений
(4.24) и (4.30). Из (4.24) с учетом формул (4.15) щ xft) имеем (т}{ = 1,
т}2 = у)
•М+ *,(•{?) -*¦,(•?) -"•
Отсюда следует, что так как в противном случг
- т^) < 0 и в силу возрастания функции a2(t) и услов!
rj > \ а2 - т/а2 (Т2?) < Объединяя этот результат
(4.24), (4.30) и (4.32), найдем
rki < \к < ГИ < Т0/ < Т2? < Хи < Х- (4-3<
Пространственно-временные области на плоскости тх, соотва ствующие
различным пределам интегрирования для интеграле 1к1(х, г) и 1к2(х, т) при
х > 0 указаны на рис. 4.6 и 4.7. Зде<
наряду с введенными выше использованы величины ^ и t^. аг^к0 + ао =
1кх1т1к' аг(Я ~ао = 1кг^к-
(4.31
Рис. 4.6. Области, соответствующие пределам интегрирования для
Р
В центральной точке области Q (х = 0) формулы (4.15) 55) упрощаются,
и напряжение ст330 имеет вид
стЗЗо(°> т) = - 2[/и(0, т) + /21(0, т)] =
-А(т)Я(т) - 2
21 11 / Р31 (0 dt + / Fn(t)dt О
т
, (4.38
164
k\
1к1(0, т) = Ik2(0, т) = J Fkl(t) dt, xL(r) = x2(r) = a2(T),
о
W = Fia(r) = r~t]V^t Ф (k = h 2)'
