Динамические контактные задачи с подвижными границами - Горшков А.Г.
ISBN 5-02-014700-1
Скачать (прямая ссылка):
" w ~<3>
IK2~Q
*-*S К + (r)2^K^
\Л=^к2 ,P=fCH2^
}аз=а2(П)"
*sk 7Укаа 2
6
Рис. 4.7. Области, соответствующие рразличным пределам интегрирования для
Р
1к2(х,г) = $ Fk2(t)dt. -vQ s \/nk, 6-v0 > \/Vk
165
V) - V)+ Р2Й -7$ХР> ^(О. rg>(0 = г^цю.т-я,
Т*1 = Тй} = Ttt' T-T*l-V*2<T*l) = °' Т21 < Т11'
где Г^(х, г) определяется равенствами в (2.63).
Как следует из (4.36), во втором интеграле в (4.35" подынтегральные
функции имеют особенности в точках t = т
В формуле (4.38) функция /^ (t) имеет особенность в точке]
t = то = roi = то2 = 0 только при aQ = 0. Порядок этих особен"
стей связан с характером поведения функции хГ^(х, т)
окрестности точки х = 0. Из (2.63) с учетом (4.2) найдем
1
= -3
жх
4т
-2- U -L
От72 1
г]2
ЖГ)
V
Л.(х2, г2)
Л22(х2, г2)Vt2 - х7
+ 2 1--Ут!, (4.39J
!5V"-)--s(s-^+7
вде функции i?22(x, г) и /*3(х, т) определяются равенствами (2.68) Таким
образом, соответствующие подынтегральные фу: имеют в точках t = т^.
особенности Последние эквива
лентны особенностям (/ - так как г = т0(--нуль перво]
порядка функции x.(t) (xfo.) = a2(rQ.) > 0). Интегралы <
подобной особенностью необходимо понимать в смысле регуляризо* ванного
значения [47]:
(4.40Й
ДО - Л*о)
dt + /(т0) In It - rQI.
166
g 4.3. Равномерно расширяющаяся область контакта
Рассмотрим частный случай предыдущей задачи. Пусть область ?2
равномерно расширяется:
а2(х) = % + V' vo ~ °" ^т) = V (4'41)
Напряжение сг330 в этом случае также определяется формулой
(4.15), где интегралы 1^., как следует из (4.35), вычисляются так:
Г -?
Iki(x, х) = Н(х.(г)) Н(т-Пк\х0.\) j FJt) dt +
О
+
rti
T(1)
и
+ Н(-х.(т))Н(1 - rj^Hir - ^lx0.l / Fki{t) dt,
О
- nkv(T))H(rikv0 - 1) = 0, = r]J.
(4.42)
Формулы для х.(т), т" rg) и т0(. следуют из (4.15), (4.21),
(4.24), (4.26) и (4.42):
xfi) = х0. + v0r, х0, = а0 + х, *02 = а0-х,
т ,/п т + ЧХЫ m т ~ nkx0i <4,43)
Ы~ V Ы ~ 1 ~ Vo'
Кроме соответствующей динамической задачи теории упругости
исследуемая задача отвечает плоской контактной задаче о вертикальном
внедрении в полупространство с постоянной скоростью симметричного клина
со срезом. При этом глубина погружения А(т), скорость внедрения У0,
радиус а2(т) и скорость
расширения vQ области контакта связаны между собой так:
а2 = h tg а + aQ, h = Vqt, vQ = а2 = VQ tg a, (4.44)
где a-угол полураствора клина.
167
Неопределенные интегралы, соответствующие (4.42), с учетом (2.57),
(4.2), (4.15) и (4.44) вычисляются следующим образом [145]:
/VO* = -
1 rO-rWdu
'о Щ ы3(ы + v0)V 1 - И2
г
1 4 г du
+ \S~i==4 + BJ
du
я4 Г
"г4I VT^7 "1J "vTT? ' иЧТ^7
+ с./
du
~ Dlf
du
wVl - и 1 (м + v0)Vl - и2 j
1 + Vl - u2
ЛТ]
tj arcsin и -
A\ + ~2' ln
t и I
5i + 2u
Cj) Vl -u2
Я(1 - vn)
D
1
•'^гч
In
v0u + 1 + V(1 - v2)(l - u2)
U + V,
0
+
d 1 + v
+ H(vn - 1) ¦ ¦¦---------- arcsin -J---Г
1 '" + V
-Г, TJ
щ
CM
2\
Л2 + 2
In
УТ^77
Т]\и\
- 2 2и
сл VT^7
D2 t,\u + 1 + V(1 - чЦ)(1 - щ2и2)
- Я(1 - Tjv) -- In -------------------------------27 . ч----------------
--- +
Vl - Tf2v20 Ч(ц + vj
D 1 +
v\u
+ H(rjvn - 1) -===== aresin Ио 4(1 - Л2,)
и =
*•(0
т - f 1
л, =
//I И + 1/jjl
(4.45)
5, = --т, С. = D = -
1 "2 1 V" 1
