Физика. Примеры решения задач, теория - Гомонова А.И.
Скачать (прямая ссылка):
учитывать.
Решение. Поскольку сопротивление воздуха не учитывается, то движение
ракеты - это свободное падение, т. е. движение с постоянным ускорением g,
направленным вертикально вниз. В данной задаче векторы vQ и g направлены
вдоль од-
§ 5. Свободное падение тел
34
ной вертикали, поэтому движение ракеты является прямолинейным движением.
Направим ось 0Y вертикально вверх, а начало координат совместим с точкой
бросания ракеты (рис. I. 21). В этом случае координата y(t) при движении
ракеты будет описываться уравнением
a t2
y(t) = yQ + v0yt +
скорость vy - v0y + ayt.
В нашей задаче
Уо = °> voy = vo> % = ~ 8 •
Тогда вышеприведенные уравнения будут иметь вид
y(t)= v0t-
ML. 2 '
Рис. 1.21
vy(t)= v0-gt.
В момент падения ракеты на Землю (обозначим это время t0) ее координата у
обратится в нуль, т. е.
2/СМ = 0 = v0t0 -
gto
Из этого выражения легко определяется пол-
2г>"
ное время движения ракеты t0 =
g
Пользуясь выражением для скорости, мы получим скорость ракеты при
приземлении ( в момент t0):
/ ч 2vo
vy(t0)= v* = vo -&о = vo ~g----= "*V
g
Таким образом, ракета в момент приземления будет иметь такую же по
величине скорость, что и в момент бросания. Знак "-" указывает на
направление движения.
Максимальная высота подъема ракеты характерна тем, что на этой высоте
скорость ракеты обращается в нуль.
Обозначим время подъема tn. Уравнение для скорости в этой точке можно
записать: vy(tn) =
vn
= v0~gtn = 0. Следовательно, tn = -.
g
Если мы сравним выражение для t0 и tn, легко увидим, что t0=2tn, это
позволяет нам утверждать, что время подъема ракеты до высоты Я равно
времени падения ее от высоты Я до Земли. Максимальную высоту подъема Я
вычислим из кинематического уравнения:
Вот теперь мы ответили на все поставленные в задаче вопросы.
36
Задача 1.13 С поверхности пустого колодца вертикально вверх со скоростью
г?0=10 м/с бросают мяч (рис. 1.22). Определить время tn, через которое
мяч упадет на дно колодца, если глубина последнего Н=7,8 м (принять g=10
м/с2).
Решение. Координатную ось 0Y направим вертикально вверх, а ее начало
совместим с дном колодца. Движение мяча описывается основным
кинематическим уравнением
at2
У(*) = У0 + v0yt + -j-
В нашей задаче У0 - Н, v0y = t>0, ау = -gt тогда вышеприведенное
уравнение будет иметь вид
y(t) = H + v0t-
gt
Из этого уравнения сразу же можно определить время tn, через которое мяч
упадет на дно колодца. В момент падения мяча y(tn) = 0, т. е.
у(К) = Н + v0tn - = 0.
Перепишем его в более удобном виде: gtl-2v0tl-2H = O.
37
Это квадратное уравнение имеет два решения:
_ Ур ± лК2 +
п
g
Мы воспользуемся только положительным значением корня, так как по условию
задачи tn>0. Подставим числовые значения:
10м / с + -\/l00 + 156м / с л"
К =------------------;--------= 2,6 с.
Юм/с2
Решая задачи, мы неоднократно говорили, что в кинематике все системы
отсчета равноправны. Давайте проверим это на примере нашей задачи. Для
этого выберем другую систему координат и получим решение. Теперь ось 0Y
направим, например, вертикально вниз, а начало координат совместим с
местом бросания мяча (рис. 1.23).
Запись основного кинематического уравнения останется прежней, однако в
новой системе координат у0 = 0, v0y = Vq, ау = g.
Тогда это уравнение в новой системе координат будет иметь вид
y(t) = -v0t + ^~.
В момент падения мяча на дно колодца
gt2
y(tn) = Н = -vQtn + , или
gtl - 2v0tn - 2Н = 0.
38
Если мы сравним это уравнение с аналогичным, полученным в первоначальной
системе координат, то увидим, что они совершенно одинаковы, а значит, и
решение будет одинаковым.
77777
\
О
Таким образом, мы показали равноправность двух выбранных нами
^0
7777777777777
Рис. 1.23
систем отсчета.
Задача 1.14 Снаряд выпущен под углом а к горизонту с начальной скоростью
v0. Определить время полета снаряда tn, скорость снаряда в момент падения
на Землю, дальность полета L, высоту максимального подъема Я.
Решение. Выберем систему координат таким образом, чтобы начало координат
совпало с местом бросания снаряда, ось 0Y направим вертикально вверх, ось
ОХ - горизонтально (рис. 1.24), причем плоскость X0Y выберем так, чтобы
векторы v0 и g лежали в этой плоскости. Начало отсчета времени совместим
с моментом выстрела. Движение снаряда описывается кинематическими
уравнениями:
39
Рис. 1.24
В выбранной нами системе координат х0 = О,
ах = °. иох = vo c°s"; У о = °> ау = ~8> voy = sincf> а уравнения для
координат и скоростей запишутся:
x(t) = v0t cos а\ vx = v0 cos a = const; st2
y(t) = v0t sin a-^-)Vy = v0 sin a -gt
В момент падения снаряда на землю координата y(t) обращается в нуль, т.
е.
jzt2
y(tn) = v ofnsin"-'Y = 0-
Отсюда полное время полета
2vn sin а
tn=----------
g
40
За это же время вдоль горизонтальной оси ОХ снаряд пролетит расстояние L,
т. е. Дальность полета снаряда равна
/1\ т v20 sin 2а
x{tB)= L = v0tn cos a =---------------
g
Максимальная высота подъема снаряда определяется тем, что на этой высоте
