Математические основы теории симетрии - Голод П.И.
Скачать (прямая ссылка):
Линейная оболочка Sj1Q векторов (2.1) называется пространством (или областью) Гординга. При ее образовании подразумеваем, что вектор v пробегает все пространство Sj, а функция <р — все пространство C^ (G) бесконечно дифференцируемых с компактным носителем функций на G. § 2. Представления групп JIu. Общие свойства
225
Утверждение 1. Если Т) — элемент дуального к Sj пространства Sj*, a f Є SjQ, то матричный элемент
(v,T(g)f) := tM является бесконечно дифференцируемой функцией на группе G.
Доказательство. Легко следует из формулы (2.1). Пусть g -> {tl(g) І і = 1,2,... ,n} — некоторая локальная параметризация группы G. В случае конечномерного представления операторные функции T(g) = T(tx, t2,... , tn) бесконечно дифференцируемы на всем пространстве Sj. Доказательство этого утверждения предоставляется читателю.
2.2. Соответствие между представлениями групп и алгебр Ли. Аналитические векторы. В предыдущем пункте мы оговорили условия, при которых представлению группы Ли соответствует представление ее алгебры Ли. А именно, было установлено, что если X Є 0 является касательным вектором к кривой gx{i~), то на плотном множестве определен оператор
T(X) = dT(g*(r))
dr
= Bm ML!. (2.3)
-r-Ю Т 4
T=о
Дифференцируя оператор T(gx(T))T(Y)T(g^c1(r)) по т при т = 0, несложно установить, что
Т([Х, Y]) =T(X)T(Y) -T(Y)T(X) = [T(X),T(Y)].
Операторы T(X), Xeq, называются инфинитезимальными операторами представления T группы G или операторами представления алгебры JIu 0.
Если размерность связной компоненты единицы группы G (и следовательно, размерность ее алгебры Ли 0) равна п, то для восстановления конечномерного представления группы G по представлению ее алгебры Ли достаточно знать п базисных инфинитезимальных операторов Т(Х%), T(X2),- • - ,T(Xn). Действительно, для элемента
п
g(ti,t2, ...,*„) = exUXi Є Ue C G i=i 226
Глава 2,
из некоторой окрестности единицы Ue имеем
T ^exp У ^ij = ехр ? UT(Xi) (2.4)
(смотри утверждение 1 в §4 гл. 2). Экспоненциальные ряды в правой части сходятся и определяют представление окрестности Ue. Поскольку сдвигами этой окрестности можно покрыть всю группу (или ее накрытие), то формула (2.4) восстанавливает представление группы G либо расширяет его до представления накрывающей группы G'.
Для многих групп имеем G = exp?. Такие группы называются экспоненциальными. Для них формула (2.4) задает представление всей группы G.
Пример 1. Пусть G — линейная группа Ли, a g — ее алгебра Ли. Напомним, что операторы Ad g, g Є G, действующие в линейном пространстве алгебры д согласно формуле (Adg)X = = gXg~1, образуют присоединенное представление группы G. Ему соответствует присоединенное представление алгебры Ли д, обозначаемое через ad и действующее в g по формуле (ad Y)X = [Y, X].
Каждой алгебре Ли 0 соответствует связная группа Ли G, для которой 0 является ее алгеброй Ли. Если T — конечномерное представление алгебры Ли 0, то рассматривая множество операторов T(X), X Є 0, как алгебру Ли, можно построить соответствующую ей группу Ли, являющуюся представлением группы Ли G. Поэтому каждому конечномерному представлению алгебры JIu соответствует представление ее группы JIu (или ее накрывающей) в том же пространстве.
Очевидно, что соответствующие друг другу конечномерные представления группы Ли G и ее алгебры Ли 0 имеют одинаковые свойства. Например, они одновременно приводимы или неприводимы, вполне приводимы или неразложимы, соответствующие пары представлений одновременно эквивалентны или неэквивалентны.
Записывая условие унитарности представления T группы G для однопараметрической подгруппы g(r) и дифференцируя полученное равенство
(Tfe(t))vl5v2) = (vl5Tfe(t))V2) § 2. Представления групп JIu. Общие свойства 227
по т при т = О, получаем, что для соответствующего представления алгебры Ли g условие унитарности имеет вид
T(X)* = -T(X), XeSy.
Контраградиентные представления T vi T алгебры Ли g связаны формулой
T(X) = -(T(X))*, XeSj,
где индекс t означает транспонирование.
Рассмотрим, как строятся тензорные произведения конечномерных представлений алгебр Ли. Для этого достаточно перейти от тензорного произведения представлений группы Ли G к соответствующему представлению ее алгебры Ли д. Положим в (1.16) g = gx (t), где gx(t) — однопараметрическая подгруппа в G с касательным вектором X, продифференцируем обе части по t и положим t = 0. В результате получаем, что оператор (Ti ®T2)(X), X Є Sj, действует на векторы х®у по формуле
(Ti ® T2)(X)(х. ® у) = Ті(Х)х ® у + X ® T2(X)y.
В случае бесконечномерных представлений соответствие между представлениями групп и алгебр Ли усложняется, так как алгебра Ли представляется неограниченными операторами, определенными на плотном линейном подпространстве Sj1Q, а на нем экспоненциальный ряд из правой части формулы (2.4) не обязательно сходится. Векторы, на которых такие ряды имеют ненулевой радиус сходимости, называют аналитическими. Дадим точное определение.
Пусть T — непрерывное представление группы Ли G в банаховом пространстве Sj. Вектор f Є Sj называется аналитическим вектором, если f(g) = T(g)f является аналитической вектор-функцией на группе G. В частности, это означает, что если g = ехр(тХ), то ряд
