Математические основы теории симетрии - Голод П.И.
Скачать (прямая ссылка):
Доказательство этой теоремы изложено, например, в книге [44].
Если Ti и T2 —— неприводимые представления группы G, то представление Ti ® T2 в большинстве случаев приводимо (исключение составляют одномерные представления). Разложение этого представления на неприводимые — непростая задача. В дальнейшем мы будем решать ее для конкретных групп и конкретных представлений. Что касается общих 222
Глава 2,
утверждений, то приведем здесь один результат, касающийся конечномерных представлений комплексных групп Ли.
Для комплексных групп Ли естественно определяется понятие голоморфного (комплексно-аналитического) представления. Конечномерное представление T называется голоморфным, если матричные элементы tnm(g) этого представления являются голоморфными функциями комплексных параметров группы. Очевидно, что определение голоморфности не зависит от выбора базиса в пространстве представления.
Аналогично определяется понятие антиголоморфного представления. Каждому голоморфному представлению T соответствует антиголоморфное представление Т; матричные элементы операторов T(g) получаются из матричных элементов tmn(g) комплексным сопряжением.
Теорема 5. Всякое неприводимое конечномерное представление комплексной связной группы JIu G эквивалентно тензорному произведению двух неприводимых представлений, одно из которых голоморфно, а другое — антиголоморфно.
Доказательство теоремы изложено в [23].
Последнее утверждение этого пункта касается характеров тензорных произведений. Пусть t\m (g) и t\{ (g) — матричные элементы конечномерных представлений T1 и T2 группы G в базисах {е*} и {е|} соответственно. Матричные элементы представления T1 ® T2 в базисе (е* ® е|} имеют вид
Отсюда видно, что
xTl0T4g) = xT4g)xT4g),
то есть характер представления T1 ® T2 равен произведению характеров представлений T1 и T2.
§ 2. Представления групп Ли. Общие свойства
2.1. Непрерывность и дифференцируемость представлений. Группа Ли является аналитическим многообра- § 2. Представления групп JIu. Общие свойства
223
зием. Поэтому, кроме непрерывности, отображение g —^ T(g) обладает рядом дополнительных свойств по сравнению с общим случаем топологических групп. Если G — группа Ли, то образ отображения Т: G GL(Sj) является конечномерной подгруппой Ли T(G) в группе линейных ограниченных операторов. Естественно определить для подгруппы T(G) понятие касательного пространства и алгебры Ли. В связи с этим возникает необходимость дифференцировать операторы T(g) по параметрам однопараметрических подгрупп т -> g(r). Производная от вектора v(r) = T(g(r))f не обязательно существует, если f Є Sj — произвольный вектор. Иллюстрацией этого является пример 3 в § 1. Представление T группы IR задано операторами сдвига в пространстве непрерывных ограниченных функций вещественного переменного: [Т(а)/](ж) = f(x + а). Оно непрерывно, однако производная оператора Т(а) является оператором дифференцирования
и поэтому определена лишь на дифференцируемых функциях. В общем случае также можно указать подпространство в пространстве представления, на котором операторы T(g) можно дифференцировать по параметрам, от которых зависит элемент g, и определить представление соответствующей алгебры Ли.
Теорема 1. Каждому непрерывному представлению T группы Ли G в банаховом пространстве Sj соответствует представление ее алгебры Ли 0, определенное на всюду плотном линейном подпространстве векторов
где <p(g) пробегает пространство бесконечно дифференцируемых с компактным носителем функций на группе G, a d^g — левоинвариантная мера на G.
Доказательство. На векторах (2.1) определено действие операторов T(X), X Є 0. Действительно, пусть т —»¦ gx(r) —
а=О
д_
дх
%>) = J <p(g)T(g)vdLg = T(vp)v, v Є Sj, (2.1)
G 224
Глава 2,
гладкая кривая с касательным вектором X Є 0. Тогда [Tfex(T)) f]M = J <p(g)T(gx(T)g)vdLg =
G
= J Vigx1 (r)g)T(g)vdLg,
G
откуда видно, что вектор T(gx(r))f бесконечно дифференцируем по параметру т и поэтому определен оператор T(X):
T(X)f= [ -Mgx1 (r)g)\ T(g)vdLg. (2.2) Jg It=O
Поскольку функция dfT(g-x\r)g)\ = [Xn<p\(g) остается бесконечно дифференцируемой и с компактным носителем на группе G, то T(X)f є Sjf?, где SJq — линейная оболочка векторов вида (2.1). Это означает, что пространство SjtQ инвариантно относительно всех операторов T(X), X Є д. Для доказательства плотности подпространства Sj1Q в пространстве Sj выберем последовательность гладких функций {(ра}, таких что <pa(g) 5? О, J <pa(g)dLg - 1, если g Є Ua, Hipa = О, если g$Ua, где {Uа] — последовательность вложенных друг в друга окрестностей единицы группы G. Из непрерывности представления T следует, что для любой выпуклой окрестности Wv С Sj произвольного вектора v Є Sj существует окрестность Ua, такая что
T(g)v Є Wv, g Є Ua-
Очевидно также, что Т(<ра)\ є Wv- Выбирая последовательность стягивающихся к v окрестностей Wv, видим, что последовательность векторов Т(<ра)\ сходится к вектору V. Это доказывает полноту и завершает доказательство теоремы.
