Математические основы теории симетрии - Голод П.И.
Скачать (прямая ссылка):
dim Го
Ля) = EE cXite), (3.18)
a€Ji п=1
а для функций / Є L2hh(G) — вид
/te) = E c^ute)' (3-19)
aeh
где /j выделяет в (Ta І а Є /} подмножество неприводимых представлений, имеющих класс 1 относительно Н.
Заметим, что как матричные элементы tnl(g), так и функции / Є Lh(G) можно рассматривать как функции на однородном пространстве M = G/H. При этом из теоремы Петера-Вейля и разложения (3.18) вытекает, что функции
і
(dim Ta) а а Є I1, 1 < n < dim Ta, (3.20)
образуют полную ортонормированную систему функций гильбертова пространства L2(M) (относительно инвариантной меры на М). § 3. Представлення компактных групп 245
3.5. Групповая алгебра. Пусть L1 (G) — пространство функций на компактной группе G, для которых / \f(g)\ dg<со. формула G
11/11 = j \f(g)\dg
G
вводит норму в L1(G), превращающую это пространство в банахово. Для функций /і и /г из L1(G) вводится свертка
(Л * h)(g) = J h(ggoX)h(go) dgo- (3.21)
G
Предлагаем читателю доказать, что Д * /2 Є L1(G). Свертка удовлетворяет условию ассоциативности
(Л * h) * /з = /і * (/г * /з)-
Поэтому она превращает L1(G) в ассоциативную алгебру, называемую групповой алгеброй.
Если ip — центральная функция из L1(G), то для каждой функции / є L1(G) имеем
f * ip = ip* f. (3.22)
Действительно, поскольку для центральных функций <p(ggl) = = v(gig) и для инвариантной меры на G имеем f f(g~1)dg =
G
= S f(g)dg, ТО
G
(v*f)(g) = J V(Mgi1)Kgi) dgi = J v(gi1g)f(gi) dgi =
G G
= J v(gi1)f(ggi)dgi = J Kggi1Mgi) dgi = (f*v)(g)-
G G
Из формулы (3.22) вытекает, что подпространство Lq(G) центральных функций из L1(G) принадлежит центру этой групповой алгебры. В действительности оно совпадает с центром. 246
Глава 2,
Каждой функции / є L1(G) и каждому неприводимому представлению Ta группы G поставим в соответствие оператор
rQ(/) = (dim TQ) J f(g)TM)dg. (3.23)
Используя формулу (3.21) и инвариантность меры dg, легко проверить, что
Ta(h*h) = Ta(h)Ta(h).
Из этого равенства видно, что при каждом а Є I соответствие / -> TQ(/) является представлением групповой алгебры L1(G).
Покажем, что описанные выше неприводимые представления групповой алгебры L1(G) разделяют элементы из L1(G), то есть для каждых Zi, Si Є L1(G), Zi ф Si, существует неприводимое представление Ta группы G, такое что Ta(Si) ф Ф Ta(Si)- Предположим, что неприводимые представления не разделяют элементы групповой алгебры: Тогда существует почти всюду не равная нулю функция Z Є L1(G), для которой Ta(S) = 0 для всех а Є I. Записывая формулу (3.23) в матричной форме, получим равенство (3.10). Соответствующее равенство (3.9) можно записать в виде
f(g) = Yrit(rrM)TM)).
а€1
Отсюда вытекает, что если Ta(S) = 0 при всех а ЄI, то S(g) = 0. Полученное противоречие показывает, что представления Ta, а Є I, разделяют функции из L1(G).
Пусть H — массивная подгруппа в G. По аналогии с L2hh(G) введем пространство L1hh(G). Тогда из результатов п. 3.4 вытекает, что матрица (Ta(S)) = (с? ) имеет только один отличный от нуля элемент, а именно элемент са = Cf1. Поэтому, если Zi, Si Є Lhh(G), то для всякого а Є I имеем
TQ(Zi * Z2) = Ta(Si)Ta(S2) = TQ(Z2)TQ(ZI) = Ta(S2 * Si)-
Это означает, что Zi * Z2 = /2 * Sii то есть L1hh(G) — коммутативная подалгебра в групповой алгебре L1(G). § 3. Представлення компактных групп
247
Если разложения (3.19) для функций /і и из L1hh(G) записать В виде/i = ? Cotf1 (g),/2 = ? Са*?1)Т0 Rnn fl* f2
аЄІі a€h
получим
(Л * h)(g) = E
a€Ji
§4. Представления конечных групп
4.1. Основные положения. Основная задача теории представлений конечных групп (как и любых других групп) состоит, во-первых, в нахождении всех неприводимых представлений, во-вторых, — в разложении произвольного конечномерного представления на неприводимые составляющие. Каждая конечная группа компактна, поэтому все утверждения предыдущего параграфа остаются верными для таких групп. В частности, каждое представление конечной группы G в гильбертовом пространстве эквивалентно унитарному представлению, а каждое неприводимое унитарное представление группы G конечномерно.
При переходе к конечным группам во всех формулах предыдущего параграфа, где используется интегрирование по группе, его следует заменить суммой по всем элементам группы, деленной на порядок ordG группы G. В частности, соотношение ортогональности для матричных элементов неприводимых представлений принимает вид
? W^Ug) = ^rSapSimSpg. (4.1)
g?G а
Пусть N = ordG — порядок группы G. Произвольная функция / Є L2(G) на конечной группе G — это последовательность N комплексных чисел
и ее можно рассматривать как вектор пространства <CN. В этом пространстве определено скалярное произведение
N
.(/І,/2) = ЕШ/2(Й)- (4-2)
і=1 248
Глава 2,
Функции t^nig) при различных а, тп и п ортогональны относительно этого скалярного произведения и поэтому независимы в пространстве L2(G) ~ Cjv. Теорема Петера-Вейля утверждает, что они образуют базис пространства L2(G). Отсюда вытекают такие следствия этой теоремы.
