Классическая механика - Голдстейн Г.
Скачать (прямая ссылка):
работы при виртуальных перемещениях и поэтому их потенциал является
величиной постоянной. Однако если имеется движущаяся связь, то её реакция
может не быть перпендикулярной к действительному перемещению, и поэтому
работа, совершаемая
ЗАДАЧИ
69
такими реакциями, может быть отличной от нуля. Так, например, если
движение точки ограничено перемещением по некоторой движущейся кривой, то
в каждый момент времени t реакция связи будет нормальна к этой кривой,
однако перемещение точки за время dt уже не будет направлено по
касательной к ней (рис. 18). Потенциал подобных реакций связи будет
изменяться со временем, и поэтому весьма существенно, входит ли в "полную
энергию" этой системы доля, обусловленная реакциями связей *).
Задачи
1. Доказать, что кратчайшим расстоянием между двумя точками пространства
является длина отрезка прямой, соединяющей эти точки.
2. Показать, что геодезическими линиями сферы являются окружности, центры
которых совпадают с центром сферы (большие круги).
3. Закончить решение задачи о брахистохроне, начатое в § 2.2, и показать,
что искомая кривая является циклоидой, точка заострения которой находится
в начальной точке движения. Показать, кроме того, что если движение
начинается с кинетической энергией -i- mv\, то брахистохрона также бтдет
циклоидой, но точка заострения её бтдет находиться на высоте
г = т^- над начальной точкой движения.
2,fr
4. Решая в § 2.2 задачу об экстремуме интеграла j'/dx, мы считали,
dy
что / = /(х, у, у), где у - . Показать, что если функция / содержит
ещё
& у
т0 уравнение Эйлера - Лагранжа будет иметь вид:
+
dx3ду3 dx ду ду
5. Из опыта установлено, что, падая без начальной скорости, материальная
точка проходит путь у0 за время ta- 1/ Предположим, далее,
?
что для уфу0 время падения её неизвестно и что о зависимости у от t
известно только то, что она имеет вид y = at-\-bfl. Показать, что если
*) Следует заметить, что формулы перехода к обобщённым координатам могут
содержать время явным образом и по причинам, отличным от движения связей,
например в случае вращающихся координатных осей. Тем не менее, может
случиться, что лагранжиан не будет при этом содержать времени явным
образом. Величина Н будет тогда постоянной, но так как Т не будет при
этом однородной функцией скоростей, то Н более уже не будет равно Т-\- V.
Ясно, что энергия системы также будет в этих случаях постоянной.
Использование, например, вращающейся системы координат оказывается
удобным в математическом отношении и не изменяет, конечно, физического
существа явления (см. гл. 8).
70
УРАВНЕНИЯ ЛАГРАНЖА И ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ [ГЛ. 2]
постоянные а и Ь выбрать так, чтобы время падения с высоты у0 было равно
указанному значению t0, то интеграл
t,
Ldt
о
o'
¦ будет иметь экстремум только при а = 0 и ^ - ту > т-е' ПРИ истинных
значениях этих коэффициентов.
6. В случае, когда силы действуют в течение весьма короткого
промежутка времени (например, при ударе двух тел), их называют
импульсивными. Под импульсом силы F понимается интеграл
[ Fdt,
it
где М-бесконечно малый промежуток времени, в течение которого действует
эта сила. Показать, что при наличии импульсивных сил уравнения Лагранжа
можно записать в виде
где индексы I и / относятся к состоянию системы до и после приложения
импульсивных сил, Sj обозначает импульс обобщённой силы, соответствующей
координате qj, a L - лагранжиан системы с учётом всех неимпульсивных сил,
не зависящих от скоростей.
7. Тяжёлая материальная точка скатывается с вершины круглого
вертикального обруча. Вычислить реакцию обруча с помощью метода
неопределённых множителей Лагранжа. Найти высоту, на которой материальная
точка покидает обруч.
8. Тяжёлая материальная точка движется по внутренней поверхности
параболоида, ось которого вертикальна, а вершина находится на поверхности
Земли. Составить лагранжиан и найти реакции связи с помощью метода
множителей Лагранжа. Показать, что давление точки на поверхность
параболоида пропорционально радиусу кривизны параболы в этой точке.
9. Пусть потенциал, фигурирующий в лагранжиане, содержит члены, зависящие
от скорости, и пусть 6 будет координатой, характеризующей поворот системы
в целом. Показать, что соответствующий обобщённый импульс /70 будет не
обычным кинетическим моментом Z.0, а будет определяться равенством
Рц = Lf> - 2 п ' (r< Х Vviu)> i
где Vv - градиент, полученный посредством дифференцирования по
составляющим скорости, а п - единичный вектор вдоль оси вращения. Если
силы имеют электромагнитную природу, то обобщённый импульс будет равен
Р% = L* + 2 П ' (Г,: Х "Г л<) •
г
10. Пусть система такова, что
г i
Показать, что уравнения Лагранжа распадаются в этом случае на ряд
независимых уравнений, решение которых всегда можно свести к квадратурам.
РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА
71
Рекомендуемая литература
Н. Margenau и О. М. Murphy, The Mathematics of Physics and Chemistry.
По вариационному исчислению имеется много книг, однако в большинстве
