Классическая механика - Голдстейн Г.
Скачать (прямая ссылка):
полным кинетическим моментом системы относительно той же оси. Обобщённая
сила Q, как и ранее, равна
i
но производная ^ имеет теперь другой геометрический смысл. Изменение
координаты qj означает теперь бесконечно малый поворот вектора ri при
сохранении его длины, и поэтому будем иметь:
| dr{ ] = г, sin Ь dqj
t>6
УРАВНЕНИЯ ЛАГРАНЖА И ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ
[гл. 2
(рис. 17). Следовательно,
dtj
dqj
- Га sill О,
причём направление этого вектора будет перпендикулярно к г4 и га.
Учитывая это, мы можем написать
дг\
и тогда получим
или
Qj = 2 Fi ¦ " X rt = 2 я • Ц х Fi'
(2.47)
что доказывает первую часть нашего утверждения. Совершая затем
аналогичные преобразования над величиной ру, получаем
дТ V
- = ^ к • г* X = ra • ^ li = n ¦ L.
Таким образом, доказана вторая часть сделанного нами утверждения. Итак,
если угловая координата qj будет циклической, то
обобщённая сила Qj, являющаяся моментом всех действующих сил относительно
оси га, будет равна нулю; кинетический момент системы относительно оси га
будет при этом постоянным. Таким образом, мы вновь доказали теорему о
сохранении кинетического момента, получив её из общей теоремы о
сохранении для циклических координат.
Циклические координаты, описывающие перемещения или вращения, играют
важную роль при исследовании свойств системы. Поэтому они заслуживают
того, чтобы на них остановиться несколько подробнее. Если координата,
описывающая перемещение системы, является циклической, то это означает,
что перемещение системы как твёрдого тела не отражается на её
динамических характеристиках. Вследствие этого, если система инвариантна
относительно перемещения вдоль данного направления, то соответствующее
количество движения сохраняется постоянным. Аналогично, если циклической
координатой будет координата, описывающая поворот (и поэтому будет
оставаться постоянным кинетический момент системы),
Рис. 17. Изменение радиуса-вектора точки при повороте системы.
§ 2.(3]
ТЕОРЕМЫ о сохранении; свойства симметрии
67
то система будет инвариантна относительно вращения вокруг данной оси.
Таким образом, теоремы о сохранении количества движения и кинетического
момента тесно связаны со свойствами симметрии системы. Если, например,
система обладает сферической симметрией, то мы можем сразу утверждать,
что все составляющие её кинетического момента будут оставаться
постоянными. Если же система симметрична только относительно оси z, то
неизменным будет оставаться только кинетический момент Lz< и аналогично
для других осей. С зависимостью между постоянными, характеризующими
движение, и свойствами симметрии мы ещё несколько раз встретимся.
Другой теоремой о сохранении, которую мы также получим сейчас с помощью
лагранжиана, является теорема о сохранении полной энергии консервативной
системы. Рассмотрим консервативную систему, для которой /7=-?V, где V -
функция, не зависящая от скорости. Кроме того, введём дополнительное
ограничение, потребовав, чтобы связи не зависели от времени. Тогда L не
будет
явно зависеть от t, и производная ^ будет равна
dt 2d dqj dt ^ 2d dq dt
i i J
dL dL dqj dL dqj
(2.48)
з з J
Но согласно уравнениям Лагранжа
dL d dL
dqj dt dqt
и поэтому можно написать
ri 7 ri ri F si F ri rs
at 2ddt\q3 dq.)'
Отсюда
и, следовательно,
i V ' dL гг
2 ь dil -
(2.49)
где H есть некоторая постоянная. Это уравнение можно также записать в
виде
Я = 2 qjpj - L. (2.50)
3
68
УРАВНЕНИЯ ЛАГРАНЖА И ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ
[гл. 2]
Таким образом, мы получили первый интеграл уравнений движения. Покажем
теперь, что правая часть равенства (2.50) представляет собой полную
энергию рассматриваемой системы.
Для консервативных систем (V не зависит от скоростей qj) имеем:
Pj дЯ] дЬ ' и поэтому первый член правой части (2.50) равен
V • дТ
^4j дь '
показано, что если связи не зависят от времени
Но в § 1.6 было [или, точнее, если формулы (1.36) не содержат явно t], то
кинетическая энергия 7 есть однородная квадратичная функция qj. Далее
следует вспомнить теорему Эйлера, согласно которой для всякой
однородной функции f(qj) справедливо тождество
К.
; nf,
где п - порядок В данном случае довательно,
2*
однородной функции. п равно двум и, сле-
дТ
3
dqj
27.
(2.51)
Отсюда Н ¦
выражает теорему
= 27-(7 - V) - T-\-V. (2.52) о сохранении полной энергии
Это равенство системы.
Эта теорема получена сейчас более строгим путём, чем в главе 1, и мы
видим, что, кроме консервативности сил, здесь нужно потребовать ещё,
чтобы связи не зависели от времени. В сущности эти теоремы говорят не
совсем об одной и той же энергии. В теореме, сформулированной нами ранее,
изменение энергии системы определяется работой всех сил, включая реакции
связей. Здесь же в новой формулировке энергия V определяется работой лишь
активных сил и не включает в себя работу реакций. При связях, не
зависящих от времени, между этими теоремами нет существенной разницы, так
как мы знаем, что реакции связей, не зависящих от времени, не совершают
