Сборник задач по квантовой механике - Гольдман И.И.
Скачать (прямая ссылка):
функций электронов взять водородные функции для электрона в состоянии Is
в виде ф100 = 2Z[2e~z'r, для электрона в состоянии 2s в виде
Zjr
'hw = cZfe 2 (1- iZ2r);
Zj и Z2 в этих выражениях являются вариационными параметрами, с
определяется из условия нормировки волновой функции ф200, а у из условия
ортогональности функций ф100, ij)200. Если бы мы при решении задачи
применяли обычную теорию возмущений, то положили бы Zx - Z2 = 3. Вводя
вариационные параметры Zx и Z2, мы тем самым учитываем экранирующее
действие электронов.
17. Определить смещение энергетических уровней атома вследствие
движения ядра. Вычислить величину смещения в атоме гелия для триплетного
и синглетного состояний
1 snp, воспользовавшись собственными функциями в форме
водородноподобных функций отдельных электронов с эффективным зарядом.
ATOM
35
18. Потенциальная энергия U (х, у, z) является однородной функцией
координат с показателем однородности V
Доказать, что среднее значение кинетической энергии в состоянии
дискретного спектра связано со средним значением потенциальной энергии
следующим соотношением 2Т = vU (теорема вириала).
19. Оценить порядок следующих величин согласно модели Томаса - Ферми:
а) среднее расстояние между электроном и ядром;
б) средняя энергия кулоновского взаимодействия между двумя электронами
в атоме;
в) средняя кинетическая энергия электрона;
г) энергия, необходимая для полной ионизации атома;
д) средняя скорость электронов в атоме;
е) средний момент количества движения электрона;
ж) среднее радиальное квантовое число электрона.
20. Выразить приближенно энергию атома через электронную плотность р
(г) согласно модели Томаса - Ферми *).
21. Показать, что уравнение Томаса - Ферми получается как условие
минимума полной энергии при вариации плотности р (г).
Указание. Воспользоваться результатом предыдущей задачи. При варьировании
Е(р) учесть условие нормировки
J р dx = N (для нейтрального атома N - Z).
22. Найти вариационным методом наилучшее приближенное выражение для
электронной плотности в модели Томаса - Ферми, беря в качестве допустимых
функций
из условия нормировки J р??т = Л/ (для нейтрального атома
N - Z), а X-параметр, подлежащий варьированию. Определить энергию атома
(иона).
U (\х, Ху, \z) - (х, у, z).
функции вида
где А определяется
*) В задачах № 20-25 применяется система единиц е - Т> = = ц = 1.
36
ЗАДАЧИ
Примечание. При выборе вида допустимых функций учтено то обстоятельство,
что точное решение в области
, const
малых г имеет особенность вида р ----------- .
r'h
23. Доказать справедливость теоремы вириала для модели Томаса - Ферми.
24. На основании теоремы вириала доказать, что в модели Томаса - Ферми
в нейтральном атоме энергия электростатического взаимодейстия электронов
составляет у от величины взаимодействия электронов с ядром.
26. Вычислить энергию полной ионизации атома (иона) в приближения Томаса
- Ферми.
26. Определить смещение энергетических уровней атома, возникающее
вследствие конечности размеров ядра. Потенциал внутри ядра (г < а)
считать постоянным (физически это означает, что электрический заряд ядра
распределен по поверхности сферы радиуса а).
27. Рассчитать значение ф2(0) для валентного s-электрона в атоме с
большим Z, используя квазиклассическое приближение.
28. Определить слагаемое напряженности магнитного поля в центре атома
водорода, создаваемое орбитальным движением электрона. Вычислить эту
величину для состояния 2 р.
29. Как изменится выражение для магнитного момента атома водорода в
случае учета движения ядра?
30. Определить расстояние между термами сверхтонкой структуры для s-
электрона атома водорода.
31. Определить энергию сверхтонкой структуры одноэлектронного атома,
орбитальный момент количества движения которого не равен нулю.
32. Диамагнитный атом находится во внешнем магнитном поле. Определить
величину напряженности индуцированного магнитного поля в центре атома.
33. Решить предыдущую задачу в случае гелия.
34. Указать возможные значения полного момента у состояний 3S, ЬР, 2D,
iD.
35. Какие состояния (термы) могут осуществляться для двух электронов a)
nsn's, б) nsn'p, в) nsn'd, г) прп'р.
ATOM
37
36. Указать возможные термы следующих конфигураций:
а) (яр)3, б) (nd)2, в) ns(n'pY,
37. Определить основные термы следующих элементов:
О, Cl, Fe, Со, As, La. По поводу электронных конфигураций атомов см.
Д. И. Блохинцев "Основы квантовой механики", 1949 г., стр. 503-505.
Указание. Для определения необходимо воспользоваться эмпирическими
установленными правилами.
1. Наименьшей энергией обладает терм с наибольшим значением S при
данной конфигурации электронов и наибольшим (возможным при этом S)
значением L (правило Гунда).
2. Для нормального состояния атома J-\L - 5|, если в не вполне
заполненной оболочке находится не более половины максимально возможного
для нее числа электронов и J = L-\- S, если оболочка заполнена более чем
наполовину.
38. Определить четность основных термов элементов К' Zn, В, С, N, О,
