Сборник задач по квантовой механике - Гольдман И.И.
Скачать (прямая ссылка):
вариационного принципа Ритца. В качестве класса допустимых радиальных
волновых
функций взять функции вида R = ce 20, зависящие от параметра а. Величина
с определяется через х из условия
о
11. Определить энергетические уровни и волновые функции частицы,
находящейся в сферическом "потенциальном ящике".
U (г) = 0 (г < a); U (г) = со (г > а).
Рассмотреть случай I = 0.
12. Определить дискретный спектр энергии частицы с моментом 1 = 0,
находящейся в центрально-симметрической потенциальной яме
"ядерная плотность" р (г) = 2 ф* (г) ф.,(г) (суммирование
СО
(г < а),
Сг > ")¦
13. Применяя теорию возмущения, качественно определить изменение
энергетических уровней при переходе от
28
ЗАДАЧИ
потенциала U (г) =
- U0(r< а),
к потенциалу, изобра-
0 (г > а) женному на рис. 16.
14. Потенциальная энергия а-частицы в поле ядра состоит из двух частей:
кулоновского отталкивания и короткодействующего притяжения поля ядерных
сил. Вид потенциаль-
Рис. 17.
ной энергии схематически изображен на рис. 17. Испускание а-частиц
представляет собой специфически квантовое явление, обусловленное
прозрачностью барьера. Рассмотреть прохождение частицы (с моментом 1 - 0)
через сферический потенциальный барьер упрощенной формы:
U(r) = 0 (/¦</¦,),
U (г)- U 0 {Г,<г<г2),
U (г) -0 (г2<г).
Найти соотношение между периодом распада и энергией.
§ 6. ДВИЖЕНИЕ ЧАСТИЦЫ В МАГНИТНОМ ПОЛЕ
1. Пусть волновая функция электрона в начальный момент времени имеет
вид
?(л;, у, z, 0) = ф(*, у, 0) <р (z, 0).
Тогда в однородном магнитном поле егв, направленном вдоль оси z, волновая
функция в момент времени t будет тзкже иметь вид произведения ? (х, у, z,
t)=ty(x, у, t)X.
ДВИЖЕНИЕ ЧАСТИЦЫ В МАГНИТНОМ ПОЛЕ
29
X <р (z, t), поскольку в уравнении Шредингера переменная z допускает
отделение. Показать, что функция ф (лг, у, Т) принимает с точностью до
фазового множителя начальное значение, если Т - период классического
движения частицы в магнитном поле.
2. Показать, что в случае наличия магнитного поля для операторов
компонент скорости имеют место следующие правила коммутации:
vj°v~ -VyVx ieh рРс &ez\
VyVz- -vzvy leh (J2с mx.
А А Л А leh cvo
vzvx- - ад: fJtaC C-JVy
3. Основываясь на результатах задач 2 § 6 и 5 § 1, определить энергию
заряженной частицы, движущейся в постоянном магнитном поле.
4. Определить энергетический спектр заряженной частицы, движущейся в
однородном электрическом и однородном магнитном полях, направления
напряженностей которых взаимно перпендикулярны.
б. Определить волновые функции заряженной частицы при движении во взаимно
перпендикулярных однородных магнитном и электрическом полях.
6. Заряженная частица находится в однородном магнитном поле и в
центрально-симметричном поле вида U (г) =
(А(В Ь2
= -2- • Определить энергетический спектр частицы.
7. Определить зависящие от времени операторы координат х, у заряженной
частицы, движущейся в однородном
векторный потенциал Ах =------------2~У'
Ау - Щ- х, Аг - 0^ . Найти (х-х)2 и (у-у)2 как функции времени.
8. Определить уровни энергии и волновые функции заряженной частицы,
движущейся в однородном магнитном поле. Воспользоваться цилиндрической
системой координат.
30
ЗАДАЧИ
Векторный потенциал взять в форме - р, Аа - = = 0.
9. Найти компоненты плотности тока для заряженной частицы, движущейся
в однородном магнитном поле для состояния, характеризуемого квантовыми
числами п, т, kz (см. предыдущую задачу).
10. Найти в квазиклассическом приближении уровни энергии заряженной
частицы, находящейся в однородном магнитном поле (цилиндрические
координаты).
11. Определить классически доступную область радиального движения
частицы в магнитном поле (см. предыдущую задачу).
12. Оценить минимальную "размазанность" орбиты в радиальном направлении
для заряженной частицы в магнитном поле.
13. Выразить, согласно классической механике, координаты центра
окружности, по которой движется заряженная частица в однородном магнитном
поле через координаты х, у и обобщенные импульсы рх, ру. Рассматривая в
этих выражениях координаты и импульсы как операторы, найти
перестановочные соотношения для введенных таким образом координат "центра
орбиты" и соответствующие соотношения неопределенностей. Показать, что
сумма квадратов координат "центра орбиты" принимает дискретные
2 he
значения 1;-(я-4-'/г), где п - 0, 1, 2, ...
| е I 4 1 '
14. Показать, что в однородном магнитном поле, переменном во времени,
волновая функция частицы со спином распадается на произведение
координатной и спиновой функций.
15. Частица со спином */2 находится в однородном магнитном поле,
направленном по оси г, изменяющемся по абсолютной величине по
произвольному закону 36 = 36 (t).
В начальный момент времени (t = 0) спиновая функция
имела вид . Определить среднее значение проек-
ции спина на оси х и у, а также на направление, вдоль которого проекция
спина имеет определенное значение в момент времени t.
§ 6]
ДВИЖЕНИЕ ЧАСТИЦЫ В МАГНЙТНОМ ПОЛЕ
